Номер 5.18, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.18. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $M$ — середина ребра $AB$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CM}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

Для решения задачи введем базис векторов с началом в одной из вершин тетраэдра, например, в точке C. Пусть $\overrightarrow{CA} = \vec{x}$, $\overrightarrow{CB} = \vec{y}$ и $\overrightarrow{CD} = \vec{z}$.

Поскольку тетраэдр $DABC$ — правильный, все его ребра равны $a$, а грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, углы между ребрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$.

Длины базисных векторов равны: $|\vec{x}| = a$, $|\vec{y}| = a$, $|\vec{z}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов равны:$\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\angle ACB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$$\vec{y} \cdot \vec{z} = |\vec{y}| \cdot |\vec{z}| \cdot \cos(\angle BCD) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$$\vec{x} \cdot \vec{z} = |\vec{x}| \cdot |\vec{z}| \cdot \cos(\angle ACD) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$

1) $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{DC}$

Выразим векторы $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{DC}$ через базисные векторы $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$.

Точка $M$ — середина ребра $AB$. Вектор $\overrightarrow{CM}$ является медианой треугольника $ABC$. По правилу нахождения вектора медианы:

$\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})$.

Вектор $\overrightarrow{DC}$ противоположен вектору $\overrightarrow{CD}$:

$\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -\vec{z}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{DC}$:

$\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = \left(\frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\right) \cdot (-\vec{z}) = -\frac{1}{2}(\vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z})$.

Подставим значения скалярных произведений базисных векторов:

$\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = -\frac{1}{2}(a^2) = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

2) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$

Выразим векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ через тот же базис векторов $\vec{x}$, $\vec{y}$ и $\vec{z}$.

По правилу треугольника для векторов:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \vec{y} - \vec{x}$.

Вектор $\overrightarrow{CD}$ является одним из базисных векторов:

$\overrightarrow{CD} = \vec{z}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (\vec{y} - \vec{x}) \cdot \vec{z} = \vec{y} \cdot \vec{z} - \vec{x} \cdot \vec{z}$.

Подставим значения скалярных произведений базисных векторов:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, что означает, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ (а значит, и скрещивающиеся ребра $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра) перпендикулярны.

Ответ: $0$.