Номер 5.25, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.25. Вершинами треугольника являются точки $A (1; 0; 1)$, $B (-5; 4; 3)$ и $C (0; 3; -1)$. Найдите угол $A$ треугольника.

Угол A треугольника ABC — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу косинуса угла между векторами.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A(1; 0; 1) и концом в точке B(-5; 4; 3):

$\vec{AB} = (-5 - 1; 4 - 0; 3 - 1) = (-6; 4; 2)$

Для вектора $\vec{AC}$ с началом в точке A(1; 0; 1) и концом в точке C(0; 3; -1):

$\vec{AC} = (0 - 1; 3 - 0; -1 - 1) = (-1; 3; -2)$

Косинус угла A между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ вычисляется по формуле:

$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-6) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 6 + 12 - 4 = 14$

Теперь найдем длины (модули) векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла A:

$\cos(A) = \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}}$

Упростим выражение в знаменателе: $\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.

$\cos(A) = \frac{14}{2\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{2 \cdot 14} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Зная, что косинус угла A равен $\frac{1}{2}$, находим сам угол:

$A = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$

Ответ: $60^{\circ}$