Номер 5.28, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.28. Даны точки $A(0; -1; 1)$, $B(-2; 0; -1)$ и $C(-2; -1; 0)$. Найдите на оси $z$ такую точку $D$, чтобы векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ были перпендикулярны.

Для решения задачи необходимо найти координаты точки $D$, которая лежит на оси $z$, и при которой векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ будут перпендикулярны.

1. Точка $D$ лежит на оси $z$. Это означает, что ее координаты по осям $x$ и $y$ равны нулю. Таким образом, координаты точки $D$ можно записать как $D(0; 0; z)$, где $z$ — неизвестная координата, которую нам нужно найти.

2. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Для этого из координат конечной точки $C(-2; -1; 0)$ вычтем соответствующие координаты начальной точки $A(0; -1; 1)$:

$\vec{AC} = (-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1) = (-2; 0; -1)$

3. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{BD}$. Из координат конечной точки $D(0; 0; z)$ вычтем соответствующие координаты начальной точки $B(-2; 0; -1)$:

$\vec{BD} = (0 - (-2); 0 - 0; z - (-1)) = (2; 0; z + 1)$

4. Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Запишем условие перпендикулярности для векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$

Подставим найденные координаты векторов в формулу скалярного произведения:

$(-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) = 0$

5. Теперь решим полученное уравнение относительно $z$:

$-4 + 0 - (z + 1) = 0$

$-4 - z - 1 = 0$

$-5 - z = 0$

$z = -5$

Таким образом, мы нашли аппликату (координату $z$) точки $D$. Координаты точки $D$ равны $(0; 0; -5)$.

Ответ: $D(0; 0; -5)$