Номер 5.34, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.34. Точка $M$ – середина ребра $AA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $BM$ и $BC_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BM$ и $BC_1$ воспользуемся методом координат. Пусть ребро куба равно $a$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0;0;0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба и точка $M$ будут иметь следующие координаты:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(0; a; 0)$
• $C_1(a; a; a)$
• $A_1(0; 0; a)$

Поскольку точка $M$ — середина ребра $AA_1$, ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:
$M = (\frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}) = (0; 0; \frac{a}{2})$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$, соответствующих нашим прямым:

$\vec{BM} = \{x_M - x_B; y_M - y_B; z_M - z_B\} = \{0-0; 0-a; \frac{a}{2}-0\} = \{0; -a; \frac{a}{2}\}$.

$\vec{BC_1} = \{x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B\} = \{a-0; a-a; a-0\} = \{a; 0; a\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми $BM$ и $BC_1$ равен углу между векторами $\vec{BM}$ и $\vec{BC_1}$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{BM}| \cdot |\vec{BC_1}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{BM} \cdot \vec{BC_1} = (0 \cdot a) + (-a \cdot 0) + (\frac{a}{2} \cdot a) = 0 + 0 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

2. Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{BM}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$.