Номер 5.38, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.38. Сумма плоских углов $ASB$ и $BSC$ трёхгранного угла $SABC$ равна $180^\circ$. Докажите, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе плоского угла $ASC$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть вершина трёхгранного угла $S$ совпадает с началом координат. Введём единичные векторы $\vec{e_a}$, $\vec{e_b}$ и $\vec{e_c}$, сонаправленные с рёбрами $SA$, $SB$ и $SC$ соответственно, так что $|\vec{e_a}| = |\vec{e_b}| = |\vec{e_c}| = 1$.

Обозначим плоские углы $\angle ASB = \alpha$ и $\angle BSC = \beta$. По условию задачи, их сумма равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Нам необходимо доказать, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе угла $ASC$. Направление ребра $SB$ задаётся вектором $\vec{e_b}$. Направление биссектрисы угла $ASC$ (угла между единичными векторами $\vec{e_a}$ и $\vec{e_c}$) задаётся вектором их суммы $\vec{d} = \vec{e_a} + \vec{e_c}$.

Для доказательства перпендикулярности векторов $\vec{e_b}$ и $\vec{d}$ достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{e_b} \cdot \vec{d} = 0$.

Распишем скалярное произведение:
$\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \vec{e_b} \cdot (\vec{e_a} + \vec{e_c}) = \vec{e_b} \cdot \vec{e_a} + \vec{e_b} \cdot \vec{e_c}$.

Используя определение скалярного произведения для единичных векторов:
$\vec{e_b} \cdot \vec{e_a} = \cos(\alpha)$
$\vec{e_b} \cdot \vec{e_c} = \cos(\beta)$

Следовательно, $\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \cos(\alpha) + \cos(\beta)$.

Из условия $\alpha + \beta = 180^\circ$ следует, что $\cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Подставим это в наше выражение:
$\vec{e_b} \cdot \vec{d} = \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha)) = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Это доказывает, что ребро $SB$ перпендикулярно биссектрисе плоского угла $ASC$.

Ответ: Утверждение доказано.