Номер 5.39, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.39. Точки $M$ и $N$ — соответственно середины рёбер $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $O$ — центр грани $CC_1D_1D$. Докажите, что прямые $MO$ и $B_1N$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности прямых $MO$ и $B_1N$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $DA$, ось $Oy$ — вдоль $DC$, ось $Oz$ — вдоль $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В выбранной системе координат определим координаты точек, указанных в условии задачи.
Координаты вершин, необходимые для решения:
$D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $A_1(a, 0, a)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $B_1(a, a, a)$.

Точка $M$ является серединой ребра $AA_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A$ и $A_1$:
$M\left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = M\left(a; 0; \frac{a}{2}\right)$.

Точка $N$ является серединой ребра $AD$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A$ и $D$:
$N\left(\frac{a+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N\left(\frac{a}{2}; 0; 0\right)$.

Точка $O$ является центром грани $CC_1D_1D$. Ее координаты можно найти как координаты середины диагонали $CD_1$:
$O\left(\frac{0+0}{2}; \frac{a+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = O\left(0; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\right)$.

Далее найдем координаты направляющих векторов для прямых $MO$ и $B_1N$.
Вектор $\vec{MO}$ имеет координаты, равные разности координат точек $O$ и $M$:
$\vec{MO} = \left(0 - a; \frac{a}{2} - 0; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right) = \left(-a; \frac{a}{2}; 0\right)$.

Вектор $\vec{B_1N}$ имеет координаты, равные разности координат точек $N$ и $B_1$:
$\vec{B_1N} = \left(\frac{a}{2} - a; 0 - a; 0 - a\right) = \left(-\frac{a}{2}; -a; -a\right)$.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямых $MO$ и $B_1N$, нужно показать, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MO}$ и $\vec{B_1N}$:
$\vec{MO} \cdot \vec{B_1N} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + \left(\frac{a}{2}\right) \cdot (-a) + 0 \cdot (-a) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $MO$ и $B_1N$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $MO$ и $B_1N$ доказана.