Номер 5.46, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.46. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $a$. Угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен $\arccos \frac{1}{4}$. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AC$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ будет перпендикулярна плоскости $(ACC_1A_1)$.

Поскольку призма правильная, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Найдем координаты вершин основания:

• $A(0, 0, 0)$
• $C(a, 0, 0)$
• Высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, равна $a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Основание этой высоты лежит на середине отрезка $AC$, в точке с координатой $x = \frac{a}{2}$. Таким образом, координаты вершины $B$: $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть искомая длина бокового ребра призмы равна $h$. Тогда $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут:

• $A_1(0, 0, h)$
• $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
• $C_1(a, 0, h)$

Теперь найдем векторы, соответствующие скрещивающимся прямым $AB_1$ и $BC_1$:

$\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$\vec{v_2} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Косинус угла $\phi$ между двумя векторами вычисляется по формуле: $\cos\phi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$. Для угла между скрещивающимися прямыми используется модуль скалярного произведения, так как угол по определению острый или прямой.

$\cos\phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

По условию, угол равен $\arccos\frac{1}{4}$, следовательно, $\cos\phi = \frac{1}{4}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (\frac{a}{2}) \cdot (\frac{a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + h \cdot h = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + h^2 = h^2 - \frac{a^2}{2}$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\frac{1}{4} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{\sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{a^2 + h^2}$

Получаем уравнение относительно $h$:

$a^2 + h^2 = 4 \cdot |h^2 - \frac{a^2}{2}|$

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:

1) $h^2 - \frac{a^2}{2} \ge 0$, то есть $h^2 \ge \frac{a^2}{2}$. В этом случае $|h^2 - \frac{a^2}{2}| = h^2 - \frac{a^2}{2}$.

$a^2 + h^2 = 4(h^2 - \frac{a^2}{2})$

$a^2 + h^2 = 4h^2 - 2a^2$

$3h^2 = 3a^2$

$h^2 = a^2 \implies h = a$ (поскольку $h>0$).

Проверяем условие: $a^2 \ge \frac{a^2}{2}$, что является верным. Значит, $h=a$ — одно из решений.

2) $h^2 - \frac{a^2}{2} < 0$, то есть $h^2 < \frac{a^2}{2}$. В этом случае $|h^2 - \frac{a^2}{2}| = -(h^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{a^2}{2} - h^2$.

$a^2 + h^2 = 4(\frac{a^2}{2} - h^2)$

$a^2 + h^2 = 2a^2 - 4h^2$

$5h^2 = a^2$

$h^2 = \frac{a^2}{5} \implies h = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Проверяем условие: $\frac{a^2}{5} < \frac{a^2}{2}$, что является верным, так как $2 < 5$. Значит, $h=\frac{a\sqrt{5}}{5}$ — второе возможное решение.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $a$ или $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.