Номер 5.49, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.49. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Найдите угол и расстояние между прямыми $AM$ и $DB_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке D, ось Ox направлена вдоль ребра DA, ось Oy – вдоль ребра DC, а ось Oz – вдоль ребра DD₁. Так как ребро куба равно 1, то координаты вершин будут следующими: $D(0; 0; 0)$ $A(1; 0; 0)$ $C(0; 1; 0)$ $C_1(0; 1; 1)$ $B_1(1; 1; 1)$

Точка M является серединой ребра $CC_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек C и C₁: $M\left(\frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}\right)$, то есть $M(0; 1; 0.5)$.

Нахождение угла между прямыми AM и DB₁

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{AM}$ и $\vec{DB_1}$. $\vec{AM} = \{x_M - x_A; y_M - y_A; z_M - z_A\} = \{0-1; 1-0; 0.5-0\} = \{-1; 1; 0.5\}$. $\vec{DB_1} = \{x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D\} = \{1-0; 1-0; 1-0\} = \{1; 1; 1\}$.

Косинус угла $\varphi$ между векторами находится по формуле: $\cos\varphi = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{DB_1}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AM} \cdot \vec{DB_1} = (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 0.5\cdot1 = -1 + 1 + 0.5 = 0.5$.

Найдем длины векторов: $|\vec{AM}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1+1+0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$. $|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos\varphi = \frac{|0.5|}{1.5 \cdot \sqrt{3}} = \frac{0.5}{1.5\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$. Следовательно, угол $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Нахождение расстояния между прямыми AM и DB₁

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле: $d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P_1P_2}|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В нашем случае $\vec{v_1} = \vec{AM} = \{-1; 1; 0.5\}$, $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = \{1; 1; 1\}$. Прямая AM проходит через точку $A(1; 0; 0)$, а прямая $DB_1$ проходит через точку $D(0; 0; 0)$. В качестве вектора $\vec{P_1P_2}$ возьмем вектор $\vec{DA} = \{1; 0; 0\}$.

Найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0.5 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) - \vec{j}((-1) \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) + \vec{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(0.5) - \vec{j}(-1.5) + \vec{k}(-2) = \{0.5; 1.5; -2\}$.

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы): $|(\vec{AM} \times \vec{DB_1}) \cdot \vec{DA}| = |\{0.5; 1.5; -2\} \cdot \{1; 0; 0\}| = |0.5 \cdot 1 + 1.5 \cdot 0 + (-2) \cdot 0| = |0.5| = 0.5$.

Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы): $|\vec{n}| = |\vec{AM} \times \vec{DB_1}| = \sqrt{0.5^2 + 1.5^2 + (-2)^2} = \sqrt{0.25 + 2.25 + 4} = \sqrt{6.5} = \sqrt{\frac{13}{2}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.

Найдем расстояние: $d = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{26}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{26}/2} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}$.