Страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.42. Все грани четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются ромбами. Известно, что $AB = 3$ см, $\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до точки пересечения медиан треугольника $BC_1D$.

Поскольку все грани призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются ромбами, то все ее ребра равны между собой. Из условия $AB = 3$ см следует, что длина каждого ребра призмы равна 3 см. Углы при вершине $A$ трехгранного угла, образованного ребрами $AB$, $AD$ и $AA_1$, равны $60^\circ$: $\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ$.

Для нахождения расстояния от точки $A$ до точки пересечения медиан (центроида) треугольника $BC_1D$ воспользуемся векторным методом. Примем точку $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда положение любой точки $X$ в пространстве будет определяться ее радиус-вектором $\vec{AX}$.

Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$: $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$, $\vec{a_1} = \vec{AA_1}$. По условию задачи, их длины равны:$|\vec{b}| = |\vec{d}| = |\vec{a_1}| = 3$.

Найдем скалярные произведения этих векторов, учитывая, что угол между любыми двумя из них равен $60^\circ$:$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| \cdot |\vec{d}| \cos(60^\circ) = 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$. Аналогично, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$ и $\vec{b} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $BC_1D$. Радиус-вектор центроида $M$ равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника:$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC_1} + \vec{AD})$. Здесь $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AD} = \vec{d}$.

Найдем радиус-вектор $\vec{AC_1}$. Вектор $\vec{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$. Таким образом, его можно выразить как сумму этих векторов:$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}$.

Теперь подставим выражение для $\vec{AC_1}$ в формулу радиус-вектора точки $M$:$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{b} + (\vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}) + \vec{d}) = \frac{1}{3}(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})$.

Искомое расстояние от точки $A$ до точки $M$ равно длине (модулю) вектора $\vec{AM}$. Найдем квадрат этой длины:$AM^2 = |\vec{AM}|^2 = \left| \frac{1}{3}(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1}) \right|^2 = \frac{1}{9} (2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1}) \cdot (2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})$.

Раскроем скалярное произведение:$(2\vec{b} + 2\vec{d} + \vec{a_1})^2 = 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + 2(2\vec{b} \cdot 2\vec{d}) + 2(2\vec{b} \cdot \vec{a_1}) + 2(2\vec{d} \cdot \vec{a_1})$$= 4|\vec{b}|^2 + 4|\vec{d}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + 8(\vec{b} \cdot \vec{d}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{a_1}) + 4(\vec{d} \cdot \vec{a_1})$.

Подставим ранее найденные значения:$|\vec{b}|^2 = 9$, $|\vec{d}|^2 = 9$, $|\vec{a_1}|^2 = 9$.$\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{9}{2}$, $\vec{b} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$, $\vec{d} \cdot \vec{a_1} = \frac{9}{2}$.

Выполним вычисления:$4(9) + 4(9) + 9 + 8\left(\frac{9}{2}\right) + 4\left(\frac{9}{2}\right) + 4\left(\frac{9}{2}\right) = 36 + 36 + 9 + 36 + 18 + 18 = 153$.

Теперь найдем квадрат расстояния $AM^2$:$AM^2 = \frac{1}{9} \cdot 153 = 17$.

Следовательно, искомое расстояние $AM$ равно:$AM = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.

5.43. Основанием тетраэдра $DABC$ является прямоугольный треугольник $ABC$. Точка $N$ — середина гипотенузы $AB$. Медианы треугольника $ADC$ пересекаются в точке $M$. На прямой $CD$ отметили точку $K$ так, что прямые $BM$ и $KN$ перпендикулярны. Найдите длину отрезка $CK$, если известно, что $\angle DCA = \angle DCB = 60^{\circ}$, $CB = CD = 2$ см и $CA = 1$ см.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поскольку по условию основанием тетраэдра является прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, прямой угол в этом треугольнике — это угол $C$. Разместим начало системы координат в точке $C(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль катета $CA$, а ось $Oy$ вдоль катета $CB$. Тогда, согласно данным $CA = 1$ см и $CB = 2$ см, координаты вершин основания будут:$C(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$.

Найдем координаты вершины D.Пусть точка $D$ имеет координаты $(x, y, z)$. Длина отрезка $CD$ равна 2 см, значит $|\vec{CD}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = 2$, или $x^2+y^2+z^2 = 4$. Векторы, соответствующие сторонам, имеют координаты: $\vec{CA}=(1, 0, 0)$ и $\vec{CB}=(0, 2, 0)$. Угол $\angle DCA = 60^\circ$. Используя определение скалярного произведения векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CD}$:$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\angle DCA)$$1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$$x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Аналогично для угла $\angle DCB = 60^\circ$:$\vec{CB} \cdot \vec{CD} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\angle DCB)$$0 \cdot x + 2 \cdot y + 0 \cdot z = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ)$$2y = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, откуда $y = 1$.

Теперь найдем $z$ из уравнения длины вектора $\vec{CD}$:$x^2+y^2+z^2 = 4$$1^2+1^2+z^2 = 4$$2+z^2 = 4 \implies z^2=2 \implies z = \sqrt{2}$ (выбираем положительное значение, так как ориентация тетраэдра не влияет на итоговый результат).Таким образом, координаты точки $D(1, 1, \sqrt{2})$.

Найдем координаты точек N и M.Точка $N$ — середина гипотенузы $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$:$N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ADC$. Она является его центроидом. Ее координаты равны среднему арифметическому координат вершин $A$, $D$ и $C$:$M = \left(\frac{1+1+0}{3}, \frac{0+1+0}{3}, \frac{0+\sqrt{2}+0}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

Используем условие перпендикулярности прямых BM и KN.Точка $K$ лежит на прямой $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ коллинеарен вектору $\vec{CD}$.$\vec{CD} = (1-0, 1-0, \sqrt{2}-0) = (1, 1, \sqrt{2})$. Следовательно, $\vec{CK} = \lambda \cdot \vec{CD} = (\lambda, \lambda, \lambda\sqrt{2})$ для некоторого скаляра $\lambda$. Координаты точки $K$ равны координатам ее радиус-вектора $\vec{CK}$, то есть $K(\lambda, \lambda, \lambda\sqrt{2})$.

Найдем векторы, задающие направления прямых $BM$ и $KN$:$\vec{BM} = M - B = \left(\frac{2}{3}-0, \frac{1}{3}-2, \frac{\sqrt{2}}{3}-0\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.$\vec{KN} = N - K = \left(\frac{1}{2}-\lambda, 1-\lambda, 0-\lambda\sqrt{2}\right) = \left(\frac{1}{2}-\lambda, 1-\lambda, -\lambda\sqrt{2}\right)$.

Прямые $BM$ и $KN$ перпендикулярны, значит, скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:$\vec{BM} \cdot \vec{KN} = 0$$\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}-\lambda\right) + \left(-\frac{5}{3}\right)(1-\lambda) + \frac{\sqrt{2}}{3}(-\lambda\sqrt{2}) = 0$. Умножим все уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателей:$2\left(\frac{1}{2}-\lambda\right) - 5(1-\lambda) + \sqrt{2}(-\lambda\sqrt{2}) = 0$$1 - 2\lambda - 5 + 5\lambda - 2\lambda = 0$$(-2+5-2)\lambda + (1-5) = 0$$\lambda - 4 = 0 \implies \lambda = 4$.

Найдем длину отрезка CK.Координаты точки $K$ при $\lambda=4$ равны $(4, 4, 4\sqrt{2})$. Длина отрезка $CK$ — это расстояние от точки $C(0,0,0)$ до точки $K$:$CK = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (4\sqrt{2}-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16 \cdot 2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$. Длина отрезка $CK$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.

5.44. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелограмм $ABCD$.

Известно, что $\angle DAB = 60^\circ$, а рёбра $AB, AD$ и $AA_1$ соответственно относятся как $1 : 4 : 2$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1B_1B$.

На прямой $A_1D_1$ отметили точку $M$ так, что прямые $D_1O$ и $CM$ перпендикулярны.

Найдите отношение $A_1M : MD_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$, так как параллелепипед прямой. Плоскость $Oxy$ будет совпадать с плоскостью основания $ABCD$.

Из условия известно, что ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ относятся как $1:4:2$. Для удобства вычислений, не нарушая общности, примем длины этих ребер равными $1$, $4$ и $2$ соответственно. Тогда $|AB| = 1$, $|AD| = 4$, $|AA_1| = 2$.

Найдем координаты вершин параллелепипеда. Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$. Точка $B$ лежит на оси $Ox$: $B(1, 0, 0)$. Точка $D$ лежит в плоскости $Oxy$, $|AD|=4$ и $\angle DAB = 60^\circ$, поэтому ее координаты $D(4 \cdot \cos(60^\circ), 4 \cdot \sin(60^\circ), 0) = D(2, 2\sqrt{3}, 0)$. Координаты точки $C$ находим из векторного равенства $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$: $C(1+2, 0+2\sqrt{3}, 0) = C(3, 2\sqrt{3}, 0)$. Координаты вершин верхнего основания получаются сдвигом вершин нижнего основания на вектор $\vec{AA_1} = (0, 0, 2)$: $A_1(0, 0, 2)$, $B_1(1, 0, 2)$, $C_1(3, 2\sqrt{3}, 2)$, $D_1(2, 2\sqrt{3}, 2)$.

Точка $O$ — центр грани $CC_1B_1B$. Ее координаты — это полусумма координат вершин, например, $C$ и $B_1$: $O = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2, \sqrt{3}, 1)$.

Точка $M$ лежит на прямой $A_1D_1$. Векторное уравнение этой прямой имеет вид $\vec{M} = \vec{A_1} + t \cdot \vec{A_1D_1}$ для некоторого параметра $t$. Вектор $\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (2, 2\sqrt{3}, 2) - (0, 0, 2) = (2, 2\sqrt{3}, 0)$. Тогда координаты точки $M$: $M = (0, 0, 2) + t(2, 2\sqrt{3}, 0) = (2t, 2\sqrt{3}t, 2)$.

По условию прямые $D_1O$ и $CM$ перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: $\vec{D_1O} \cdot \vec{CM} = 0$. Найдем координаты этих векторов: $\vec{D_1O} = O - D_1 = (2, \sqrt{3}, 1) - (2, 2\sqrt{3}, 2) = (0, -\sqrt{3}, -1)$. $\vec{CM} = M - C = (2t, 2\sqrt{3}t, 2) - (3, 2\sqrt{3}, 0) = (2t-3, 2\sqrt{3}t - 2\sqrt{3}, 2) = (2t-3, 2\sqrt{3}(t-1), 2)$.

Вычислим скалярное произведение и решим уравнение относительно $t$: $\vec{D_1O} \cdot \vec{CM} = 0 \cdot (2t-3) + (-\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}(t-1)) + (-1) \cdot 2 = 0$. Из чего следует: $-6(t-1) - 2 = 0$ $-6t + 6 - 2 = 0$ $-6t + 4 = 0$ $t = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Искомое отношение $A_1M:MD_1$ соответствует отношению, в котором точка $M$ делит отрезок $A_1D_1$. Вектор $\vec{A_1M} = t \cdot \vec{A_1D_1}$, а вектор $\vec{MD_1} = (1-t)\vec{A_1D_1}$. Так как $0 < t < 1$, точка $M$ находится между $A_1$ и $D_1$. Отношение длин отрезков равно отношению $|t|:|1-t|$. Подставляя $t = 2/3$, получаем: $A_1M:MD_1 = \frac{2}{3} : \left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2:1$.

Ответ: $2:1$.

5.45. Рёбра $AB$ и $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно $1$ см и $\sqrt{7}$ см. Угол между прямыми $CB_1$ и $BD_1$ равен $45^\circ$. Найдите ребро $AA_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длина искомого ребра $AA_1$ равна $h$. Тогда $h > 0$.

В данной системе координат найдем координаты необходимых нам вершин параллелепипеда:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(AB, 0, 0) = (1, 0, 0)$
• $C(AB, BC, 0) = (1, \sqrt{7}, 0)$
• $B_1(AB, 0, AA_1) = (1, 0, h)$
• $D_1(0, BC, AA_1) = (0, \sqrt{7}, h)$

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $CB_1$ и $BD_1$.

Для прямой $CB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{a} = \vec{CB_1}$:

$\vec{a} = \{1-1; 0-\sqrt{7}; h-0\} = \{0; -\sqrt{7}; h\}$

Для прямой $BD_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{b} = \vec{BD_1}$:

$\vec{b} = \{0-1; \sqrt{7}-0; h-0\} = \{-1; \sqrt{7}; h\}$

Угол $\alpha$ между двумя прямыми можно найти с помощью формулы, использующей скалярное произведение их направляющих векторов:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию, угол $\alpha = 45^\circ$, следовательно, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-1) + (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} + h \cdot h = 0 - 7 + h^2 = h^2 - 7$

Теперь вычислим модули (длины) этих векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{7})^2 + h^2} = \sqrt{7 + h^2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{7})^2 + h^2} = \sqrt{1 + 7 + h^2} = \sqrt{8 + h^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|h^2 - 7|}{\sqrt{7 + h^2} \cdot \sqrt{8 + h^2}}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{(|h^2 - 7|)^2}{(\sqrt{(7 + h^2)(8 + h^2)})^2}$

$\frac{2}{4} = \frac{(h^2 - 7)^2}{(7 + h^2)(8 + h^2)}$

$\frac{1}{2} = \frac{h^4 - 14h^2 + 49}{h^4 + 15h^2 + 56}$

Выполним перекрестное умножение:

$1 \cdot (h^4 + 15h^2 + 56) = 2 \cdot (h^4 - 14h^2 + 49)$

$h^4 + 15h^2 + 56 = 2h^4 - 28h^2 + 98$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение:

$2h^4 - h^4 - 28h^2 - 15h^2 + 98 - 56 = 0$

$h^4 - 43h^2 + 42 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = h^2$. Так как $h$ - это длина, то $h > 0$ и $x > 0$.

$x^2 - 43x + 42 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 43, а их произведение равно 42. Корни легко находятся:

$x_1 = 1$

$x_2 = 42$

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями для $h^2$.

Возвращаемся к переменной $h$:

1. $h^2 = 1 \implies h = \sqrt{1} = 1$ см.

2. $h^2 = 42 \implies h = \sqrt{42}$ см.

Оба значения являются решениями задачи. Таким образом, существуют два прямоугольных параллелепипеда с заданными ребрами основания, удовлетворяющих условию об угле.

Ответ: 1 см или $\sqrt{42}$ см.

5.46. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $a$. Угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен $\arccos \frac{1}{4}$. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AC$, ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ будет перпендикулярна плоскости $(ACC_1A_1)$.

Поскольку призма правильная, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Найдем координаты вершин основания:

• $A(0, 0, 0)$
• $C(a, 0, 0)$
• Высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, равна $a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Основание этой высоты лежит на середине отрезка $AC$, в точке с координатой $x = \frac{a}{2}$. Таким образом, координаты вершины $B$: $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть искомая длина бокового ребра призмы равна $h$. Тогда $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут:

• $A_1(0, 0, h)$
• $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$
• $C_1(a, 0, h)$

Теперь найдем векторы, соответствующие скрещивающимся прямым $AB_1$ и $BC_1$:

$\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, h - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

$\vec{v_2} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, h - 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, h)$

Косинус угла $\phi$ между двумя векторами вычисляется по формуле: $\cos\phi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$. Для угла между скрещивающимися прямыми используется модуль скалярного произведения, так как угол по определению острый или прямой.

$\cos\phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

По условию, угол равен $\arccos\frac{1}{4}$, следовательно, $\cos\phi = \frac{1}{4}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (\frac{a}{2}) \cdot (\frac{a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + h \cdot h = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + h^2 = h^2 - \frac{a^2}{2}$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\frac{1}{4} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{\sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{|h^2 - \frac{a^2}{2}|}{a^2 + h^2}$

Получаем уравнение относительно $h$:

$a^2 + h^2 = 4 \cdot |h^2 - \frac{a^2}{2}|$

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая:

1) $h^2 - \frac{a^2}{2} \ge 0$, то есть $h^2 \ge \frac{a^2}{2}$. В этом случае $|h^2 - \frac{a^2}{2}| = h^2 - \frac{a^2}{2}$.

$a^2 + h^2 = 4(h^2 - \frac{a^2}{2})$

$a^2 + h^2 = 4h^2 - 2a^2$

$3h^2 = 3a^2$

$h^2 = a^2 \implies h = a$ (поскольку $h>0$).

Проверяем условие: $a^2 \ge \frac{a^2}{2}$, что является верным. Значит, $h=a$ — одно из решений.

2) $h^2 - \frac{a^2}{2} < 0$, то есть $h^2 < \frac{a^2}{2}$. В этом случае $|h^2 - \frac{a^2}{2}| = -(h^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{a^2}{2} - h^2$.

$a^2 + h^2 = 4(\frac{a^2}{2} - h^2)$

$a^2 + h^2 = 2a^2 - 4h^2$

$5h^2 = a^2$

$h^2 = \frac{a^2}{5} \implies h = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Проверяем условие: $\frac{a^2}{5} < \frac{a^2}{2}$, что является верным, так как $2 < 5$. Значит, $h=\frac{a\sqrt{5}}{5}$ — второе возможное решение.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $a$ или $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

5.47. Угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $n$ равен $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ принадлежат прямой $m$, а точки $B$ и $D$ — прямой $n$. Отрезок $CD$ является общим перпендикуляром прямых $m$ и $n$. Найдите отрезок $CD$, если известно, что $AC = BD = a$, $AB = 2a$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем векторы, соответствующие отрезкам, упомянутым в условии: $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{CD}$ и $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно выразить через сумму векторов, образующих ломаную линию, соединяющую точки A и B. Например, по пути A → C → D → B:$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{AB}$, который равен скалярному квадрату этого вектора:$|\vec{AB}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:$|\vec{AB}|^2 = \vec{AC} \cdot \vec{AC} + \vec{CD} \cdot \vec{CD} + \vec{DB} \cdot \vec{DB} + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB})$

Это уравнение можно переписать в терминах длин векторов:$|\vec{AB}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{CD}|^2 + |\vec{DB}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB})$

Из условия задачи нам известны следующие факты:
1. Длины отрезков: $|\vec{AC}| = a$, $|\vec{BD}| = a$, $|\vec{AB}| = 2a$. Обозначим искомую длину $|\vec{CD}| = x$.
2. Отрезок $CD$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $n$. Это означает, что вектор $\vec{CD}$ перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой $m$ (в частности, $\vec{AC}$), и любому вектору, лежащему на прямой $n$ (в частности, $\vec{DB}$). Следовательно, их скалярные произведения равны нулю:
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = 0$
$\vec{DB} \cdot \vec{CD} = 0$
3. Угол между скрещивающимися прямыми $m$ и $n$ равен $60^\circ$. Угол между векторами $\vec{AC}$ (лежащим на прямой $m$) и $\vec{DB}$ (лежащим на прямой $n$) может быть равен $60^\circ$ или $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Это зависит от взаимного направления векторов на своих прямых.

Подставим известные значения в наше уравнение:$(2a)^2 = a^2 + x^2 + a^2 + 2(0) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(0)$$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB})$

Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{DB}$ равно:$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(\theta) = a \cdot a \cdot \cos(\theta) = a^2 \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$.

Теперь рассмотрим два возможных случая для угла $\theta$:

1. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $60^\circ$.
В этом случае $\cos(\theta) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставляем в уравнение:$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(a^2 \cdot \frac{1}{2})$$4a^2 = 2a^2 + x^2 + a^2$$4a^2 = 3a^2 + x^2$$x^2 = a^2$Так как длина отрезка — положительная величина, $x = a$.

2. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ равен $120^\circ$.
В этом случае $\cos(\theta) = \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Подставляем в уравнение:$4a^2 = 2a^2 + x^2 + 2(a^2 \cdot (-\frac{1}{2}))$$4a^2 = 2a^2 + x^2 - a^2$$4a^2 = a^2 + x^2$$x^2 = 3a^2$Так как длина отрезка — положительная величина, $x = a\sqrt{3}$.

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение точек A и C на прямой m, а также точек B и D на прямой n, оба случая возможны. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $a$ или $a\sqrt{3}$.

5.48. Угол между скрещивающимися прямыми $p$ и $k$ равен $60^\circ$. Точки $A$ и $N$ принадлежат прямой $p$, а точки $B$ и $M$ — прямой $k$. Отрезок $MN$ является общим перпендикуляром прямых $p$ и $k$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $MN$, если известно, что $AN = NM = MB$.

Для решения задачи введем систему координат и воспользуемся векторным методом.

1. Введение системы координат.

Пусть длина отрезков $AN$, $NM$ и $MB$ равна $a$. То есть, $AN = NM = MB = a$.

Поскольку отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $p$ и $k$, разместим начало координат в точке $M$. Направим ось $Oz$ вдоль прямой $MN$. Тогда координаты точек $M$ и $N$ будут:

• $M(0, 0, 0)$
• $N(0, 0, a)$

Прямая $k$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна оси $Oz$ (прямой $MN$), следовательно, она лежит в плоскости $Oxy$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $k$.

Прямая $p$ проходит через точку $N$ и перпендикулярна оси $Oz$ (прямой $MN$), следовательно, она лежит в плоскости $z=a$ и параллельна плоскости $Oxy$.

Угол между скрещивающимися прямыми $p$ и $k$ равен $60°$. Так как прямая $k$ совпадает с осью $Ox$, а прямая $p$ параллельна плоскости $Oxy$, то угол между прямой $p$ и осью $Ox$ также равен $60°$. Направляющий вектор прямой $p$ можно задать как $\vec{d_p} = (\cos{60°}, \sin{60°}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

2. Нахождение координат точек A и B.

Точка $B$ лежит на прямой $k$ (оси $Ox$) и расстояние $MB = a$. Мы можем выбрать положительное направление, тогда координаты точки $B$ будут $B(a, 0, 0)$.

Точка $A$ лежит на прямой $p$ и расстояние $AN = a$. Положение точки $A$ относительно $N$ определяется вектором $\vec{AN}$, который коллинеарен направляющему вектору прямой $p$. Таким образом, $\vec{AN} = \pm a \cdot \vec{d_p}$. В зависимости от выбора знака возможны два различных геометрических расположения, что приведет к двум разным ответам. Рассмотрим один из возможных случаев.

Пусть векторы $\vec{AN}$ и $\vec{MB}$ образуют между собой угол $120°$. В нашей системе координат $\vec{MB} = (a, 0, 0)$. Чтобы угол между векторами был $120°$, вектор $\vec{AN}$ должен быть направлен "в противоположную сторону" от оси $Ox$ по сравнению с $\vec{d_p}$.

Выберем $\vec{AN} = -a \cdot \vec{d_p} = -a(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты точки $A$ находятся из соотношения $\vec{A} = \vec{N} - \vec{AN}$.

$\vec{A} = (0, 0, a) - (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.

Итак, мы имеем координаты всех ключевых точек:

• $A(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$
• $B(a, 0, 0)$
• $M(0, 0, 0)$
• $N(0, 0, a)$

3. Нахождение угла между прямыми AB и MN.

Угол между прямыми находится как угол между их направляющими векторами. Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 - a) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, -a)$.

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (0 - 0, 0 - 0, a - 0) = (0, 0, a)$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол. Косинус угла между векторами находится по формуле:

$\cos{\alpha} = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{MN}|}{||\vec{AB}|| \cdot ||\vec{MN}||}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{MN} = (\frac{a}{2} \cdot 0) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot 0) + (-a \cdot a) = -a^2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$||\vec{AB}|| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$||\vec{MN}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2} = a$.

Подставим значения в формулу для косинуса:

$\cos{\alpha} = \frac{|-a^2|}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{a^2}{a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда находим угол:

$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45°$.

Примечание: если бы мы выбрали другой знак для вектора $\vec{AN}$, то есть $\vec{AN} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$, то угол между векторами $\vec{AN}$ и $\vec{MB}$ был бы $60°$, а итоговый угол между прямыми $AB$ и $MN$ получился бы равным $60°$. Так как условие задачи не уточняет взаимное расположение точек $A$ и $B$ на своих прямых, задача имеет два решения. Однако, как правило, в таких задачах подразумевается один из вариантов.

Ответ: $45°$.

5.49. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Найдите угол и расстояние между прямыми $AM$ и $DB_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке D, ось Ox направлена вдоль ребра DA, ось Oy – вдоль ребра DC, а ось Oz – вдоль ребра DD₁. Так как ребро куба равно 1, то координаты вершин будут следующими: $D(0; 0; 0)$ $A(1; 0; 0)$ $C(0; 1; 0)$ $C_1(0; 1; 1)$ $B_1(1; 1; 1)$

Точка M является серединой ребра $CC_1$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек C и C₁: $M\left(\frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}\right)$, то есть $M(0; 1; 0.5)$.

Нахождение угла между прямыми AM и DB₁

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{AM}$ и $\vec{DB_1}$. $\vec{AM} = \{x_M - x_A; y_M - y_A; z_M - z_A\} = \{0-1; 1-0; 0.5-0\} = \{-1; 1; 0.5\}$. $\vec{DB_1} = \{x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D\} = \{1-0; 1-0; 1-0\} = \{1; 1; 1\}$.

Косинус угла $\varphi$ между векторами находится по формуле: $\cos\varphi = \frac{|\vec{AM} \cdot \vec{DB_1}|}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов: $\vec{AM} \cdot \vec{DB_1} = (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + 0.5\cdot1 = -1 + 1 + 0.5 = 0.5$.

Найдем длины векторов: $|\vec{AM}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1+1+0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$. $|\vec{DB_1}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos\varphi = \frac{|0.5|}{1.5 \cdot \sqrt{3}} = \frac{0.5}{1.5\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$. Следовательно, угол $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Нахождение расстояния между прямыми AM и DB₁

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле: $d = \frac{|(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{P_1P_2}|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В нашем случае $\vec{v_1} = \vec{AM} = \{-1; 1; 0.5\}$, $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = \{1; 1; 1\}$. Прямая AM проходит через точку $A(1; 0; 0)$, а прямая $DB_1$ проходит через точку $D(0; 0; 0)$. В качестве вектора $\vec{P_1P_2}$ возьмем вектор $\vec{DA} = \{1; 0; 0\}$.

Найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0.5 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) - \vec{j}((-1) \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) + \vec{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(0.5) - \vec{j}(-1.5) + \vec{k}(-2) = \{0.5; 1.5; -2\}$.

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы): $|(\vec{AM} \times \vec{DB_1}) \cdot \vec{DA}| = |\{0.5; 1.5; -2\} \cdot \{1; 0; 0\}| = |0.5 \cdot 1 + 1.5 \cdot 0 + (-2) \cdot 0| = |0.5| = 0.5$.

Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы): $|\vec{n}| = |\vec{AM} \times \vec{DB_1}| = \sqrt{0.5^2 + 1.5^2 + (-2)^2} = \sqrt{0.25 + 2.25 + 4} = \sqrt{6.5} = \sqrt{\frac{13}{2}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.

Найдем расстояние: $d = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{26}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{26}/2} = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{26}$.

5.50. Основанием тетраэдра $DABC$ является равносторонний треугольник $ABC$. Ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол и расстояние между прямыми $DM$ и $CN$, если известно, что $AB = 4$ см, $DC = \sqrt{2}$ см.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, разместим начало координат в точке $C$. Ось $Cz$ направим вдоль ребра $CD$. Оси $Cx$ и $Cy$ расположим в плоскости $ABC$. Направим ось $Cx$ вдоль прямой $CB$.

Найдем координаты вершин тетраэдра и точек $M$ и $N$.

• Точка $C$ — начало координат, ее координаты $C(0, 0, 0)$.
• Так как $DC = \sqrt{2}$, а точка $D$ лежит на оси $Cz$, ее координаты $D(0, 0, \sqrt{2})$.
• Треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $AB=4$ см, значит $BC=AC=4$ см.
• Точка $B$ лежит на оси $Cx$ на расстоянии 4 от начала координат, ее координаты $B(4, 0, 0)$.
• Найдем координаты точки $A$. В плоскости $Oxy$ ее аппликата равна 0. Координаты точки $A$ в плоскости $ABC$ можно найти, зная, что $AC=4$ и $\angle BCA = 60^\circ$. Тогда $x_A = AC \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, а $y_A = AC \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, координаты точки $A(2, 2\sqrt{3}, 0)$.
• Точка $M$ — середина ребра $BC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$: $M\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$, то есть $M(2, 0, 0)$.
• Точка $N$ — середина ребра $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$: $N\left(\frac{2+4}{2}, \frac{2\sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)$, то есть $N(3, \sqrt{3}, 0)$.

Нахождение угла между прямыми DM и CN

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между их направляющими векторами. Найдем координаты направляющих векторов $\vec{DM}$ и $\vec{CN}$.

$\vec{DM} = \{x_M - x_D; y_M - y_D; z_M - z_D\} = \{2 - 0; 0 - 0; 0 - \sqrt{2}\} = \{2; 0; -\sqrt{2}\}$.

$\vec{CN} = \{x_N - x_C; y_N - y_C; z_N - z_C\} = \{3 - 0; \sqrt{3} - 0; 0 - 0\} = \{3; \sqrt{3}; 0\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{DM} \cdot \vec{CN} = 2 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) \cdot 0 = 6$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{DM}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 0 + 2} = \sqrt{6}$.

$|\vec{CN}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 3 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|6|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Нахождение расстояния между прямыми DM и CN

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными направляющими векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ соответственно, можно найти по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

В нашем случае прямая $DM$ проходит через точку $D(0, 0, \sqrt{2})$ с направляющим вектором $\vec{DM} = \{2; 0; -\sqrt{2}\}$. Прямая $CN$ проходит через точку $C(0, 0, 0)$ с направляющим вектором $\vec{CN} = \{3; \sqrt{3}; 0\}$. В качестве вектора $\vec{P_1P_2}$ возьмем вектор $\vec{CD} = \{0; 0; \sqrt{2}\}$.

Найдем векторное произведение $\vec{DM} \times \vec{CN}$:

$\vec{DM} \times \vec{CN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -\sqrt{2} \\ 3 & \sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-\sqrt{2}) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 3) = \sqrt{6}\mathbf{i} - 3\sqrt{2}\mathbf{j} + 2\sqrt{3}\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{DM} \times \vec{CN} = \{\sqrt{6}; -3\sqrt{2}; 2\sqrt{3}\}$.

Теперь найдем смешанное произведение $(\vec{CD}) \cdot (\vec{DM} \times \vec{CN})$:

$(\vec{CD}) \cdot (\vec{DM} \times \vec{CN}) = 0 \cdot \sqrt{6} + 0 \cdot (-3\sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{DM} \times \vec{CN}| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 18 + 12} = \sqrt{36} = 6$.

Наконец, вычислим расстояние:

$d = \frac{|2\sqrt{6}|}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

5.51. Боковое ребро и ребро основания правильной четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно равны $2a$ и $a$. Найдите угол и расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке $D$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ – вдоль ребра $DC$, а ось $Oz$ – вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты, учитывая, что ребро основания равно $a$, а боковое ребро равно $2a$:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, 2a)$
• $A_1(a, 0, 2a)$

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем направляющие векторы для прямых $DA_1$ и $CD_1$.

Направляющий вектор прямой $DA_1$:

$\vec{v_1} = \vec{DA_1} = (a-0, 0-0, 2a-0) = (a, 0, 2a)$

Направляющий вектор прямой $CD_1$:

$\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (0-0, 0-a, 2a-0) = (0, -a, 2a)$

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a \cdot 0 + 0 \cdot (-a) + 2a \cdot 2a = 4a^2$

Найдем модули векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \phi = \frac{4a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{4a^2}{5a^2} = \frac{4}{5}$

Угол между прямыми равен $\phi = \arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{5}\right)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$ и $M_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, можно найти по формуле:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В качестве точки $M_1$ на прямой $DA_1$ возьмем точку $D(0, 0, 0)$, а в качестве точки $M_2$ на прямой $CD_1$ возьмем точку $C(0, a, 0)$. Тогда вектор, соединяющий эти точки:

$\vec{M_1M_2} = \vec{DC} = (0-0, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$

Направляющие векторы $\vec{v_1} = (a, 0, 2a)$ и $\vec{v_2} = (0, -a, 2a)$ мы уже нашли. Вычислим их векторное произведение:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 2a \\ 0 & -a & 2a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2a - 2a \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot 2a - 2a \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = (2a^2, -2a^2, -a^2)$

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(2a^2)^2 + (-2a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{4a^4 + 4a^4 + a^4} = \sqrt{9a^4} = 3a^2$

Теперь найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{M_1M_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0, a, 0) \cdot (2a^2, -2a^2, -a^2) = 0 \cdot 2a^2 + a \cdot (-2a^2) + 0 \cdot (-a^2) = -2a^3$

Вычислим расстояние:

$d = \frac{|-2a^3|}{3a^2} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$

Ответ: $\frac{2a}{3}$.