Страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A $(3; -1; 2)$ и перпендикулярной прямой BC, если:

1) B $(2; 0; -3)$, C $(4; -1; -5)$;

2) B $(6; -7; -2)$, C $(9; -5; 1)$.

Для того чтобы составить уравнение плоскости, необходимо знать координаты одной точки, через которую проходит плоскость, и координаты вектора нормали (перпендикулярного вектора) к этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, плоскость проходит через точку $A(3; -1; 2)$. Следовательно, $x_0 = 3$, $y_0 = -1$, $z_0 = 2$.

Плоскость перпендикулярна прямой $BC$. Это означает, что направляющий вектор прямой $BC$, то есть вектор $\vec{BC}$, является вектором нормали $\vec{n}$ для искомой плоскости. Координаты вектора $\vec{BC}$ находятся по формуле: $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B)$.

1. Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BC}$:
$\vec{n} = \vec{BC} = (4 - 2; -1 - 0; -5 - (-3)) = (2; -1; -2)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=2, B=-1, C=-2$.

2. Подставим координаты точки $A(3; -1; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(2; -1; -2)$ в общее уравнение плоскости:
$2(x - 3) - 1(y - (-1)) - 2(z - 2) = 0$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить общее уравнение плоскости:
$2(x - 3) - (y + 1) - 2(z - 2) = 0$
$2x - 6 - y - 1 - 2z + 4 = 0$
$2x - y - 2z - 3 = 0$.

Ответ: $2x - y - 2z - 3 = 0$.

1. Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$, который совпадает с вектором $\vec{BC}$:
$\vec{n} = \vec{BC} = (9 - 6; -5 - (-7); 1 - (-2)) = (3; 2; 3)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости: $A=3, B=2, C=3$.

2. Подставим координаты точки $A(3; -1; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(3; 2; 3)$ в общее уравнение плоскости:
$3(x - 3) + 2(y - (-1)) + 3(z - 2) = 0$.

3. Раскроем скобки и упростим выражение:
$3(x - 3) + 2(y + 1) + 3(z - 2) = 0$
$3x - 9 + 2y + 2 + 3z - 6 = 0$
$3x + 2y + 3z - 13 = 0$.

Ответ: $3x + 2y + 3z - 13 = 0$.

6.2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору $\vec{m}(-8; 4; 12)$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, задается формулой:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи нам известно, что:
1. Плоскость проходит через начало координат, то есть через точку $M_0(0, 0, 0)$. Отсюда $x_0 = 0, y_0 = 0, z_0 = 0$.
2. Плоскость перпендикулярна вектору $\vec{m} = (-8; 4; 12)$. Этот вектор является вектором нормали к плоскости, следовательно, $\vec{n} = \vec{m} = (-8; 4; 12)$. Координаты вектора нормали равны коэффициентам в уравнении плоскости: $A = -8$, $B = 4$, $C = 12$.

Подставим эти значения в формулу уравнения плоскости:
$-8(x - 0) + 4(y - 0) + 12(z - 0) = 0$

Упрощая, получаем:
$-8x + 4y + 12z = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости. Для удобства можно упростить его, разделив все члены уравнения на их общий делитель. В данном случае, все коэффициенты делятся на 4. Чтобы сделать первый коэффициент положительным, разделим на -4:
$\frac{-8x}{-4} + \frac{4y}{-4} + \frac{12z}{-4} = \frac{0}{-4}$
$2x - y - 3z = 0$

Ответ: $2x - y - 3z = 0$.

6.3. Составьте уравнение плоскости, если точка $A (4; 3; -6)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную плоскость.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$ — это вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости).

По условию задачи, точка $A(4; 3; -6)$ является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат $O(0; 0; 0)$ на плоскость. Это означает, что вектор $\vec{OA}$ перпендикулярен искомой плоскости. Следовательно, мы можем использовать вектор $\vec{OA}$ в качестве вектора нормали $\vec{n}$.

Найдем координаты вектора $\vec{OA}$:
$\vec{n} = \vec{OA} = (4 - 0; 3 - 0; -6 - 0) = (4; 3; -6)$.
Таким образом, коэффициенты в уравнении плоскости равны $A=4$, $B=3$, $C=-6$.

Также из условия следует, что точка $A(4; 3; -6)$ лежит на искомой плоскости. Мы можем использовать каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Подставим координаты точки $A(4; 3; -6)$ и вектора нормали $\vec{n}=(4; 3; -6)$ в это уравнение:
$4(x - 4) + 3(y - 3) - 6(z - (-6)) = 0$.

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к общему виду:
$4x - 16 + 3y - 9 - 6(z + 6) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 - 6z - 36 = 0$
$4x + 3y - 6z - (16 + 9 + 36) = 0$
$4x + 3y - 6z - 61 = 0$.

Ответ: $4x + 3y - 6z - 61 = 0$

6.4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M (0; 4; 0)$ и перпендикулярной оси ординат.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Из условия задачи нам даны:

1. Точка, через которую проходит плоскость: $M(0; 4; 0)$. Отсюда $x_0 = 0$, $y_0 = 4$, $z_0 = 0$.
2. Плоскость перпендикулярна оси ординат (оси $Oy$).

Если плоскость перпендикулярна оси $Oy$, то ее нормальный вектор $\vec{n}$ параллелен (коллинеарен) этой оси. Направляющим вектором оси $Oy$ является единичный вектор $\vec{j} = (0; 1; 0)$.

Таким образом, в качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор $\vec{n} = \vec{j} = (0; 1; 0)$. Координаты этого вектора являются коэффициентами в уравнении плоскости: $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$.

Теперь подставим известные значения ($x_0, y_0, z_0$ и $A, B, C$) в общее уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 0) + 1 \cdot (y - 4) + 0 \cdot (z - 0) = 0$

Упростим полученное уравнение:

$0 + y - 4 + 0 = 0$

$y - 4 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости. Также его можно записать в виде $y=4$.

Ответ: $y - 4 = 0$.

6.5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $K(0; 0; -3)$ и параллельной плоскости $xy$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n} = \{A; B; C\}$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой плоскости.

Уравнение плоскости $xy$ задается как $z = 0$. В общем виде это уравнение можно записать как $0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z + 0 = 0$. Следовательно, нормальный вектор к плоскости $xy$ — это $\vec{n}_{xy} = \{0; 0; 1\}$.

По условию, искомая плоскость параллельна плоскости $xy$. Параллельные плоскости имеют одинаковые (или коллинеарные) нормальные векторы. Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости также будет $\vec{n} = \{0; 0; 1\}$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $K(x_0; y_0; z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n} = \{A; B; C\}$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим координаты точки $K(0; 0; -3)$ и компоненты нормального вектора $\vec{n} = \{0; 0; 1\}$ в эту формулу:

$0 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - (-3)) = 0$

Упростим полученное выражение:

$0 + 0 + 1 \cdot (z + 3) = 0$

$z + 3 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Другой способ рассуждения:

Любая плоскость, параллельная координатной плоскости $xy$, состоит из точек с одинаковой координатой $z$. Поэтому ее уравнение имеет вид $z = c$, где $c$ — некоторая константа.

Поскольку плоскость проходит через точку $K(0; 0; -3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставив координату $z$ точки $K$ в уравнение $z = c$, получаем $c = -3$.

Таким образом, уравнение плоскости — $z = -3$, или в общем виде $z + 3 = 0$.

Ответ: $z + 3 = 0$.

6.6. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек $M(-6; 3; 5)$ и $N(4; -7; 1)$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек M и N, представляет собой плоскость, которая перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину.

Пусть произвольная точка $P(x; y; z)$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По условию, расстояние от точки P до точки M равно расстоянию от точки P до точки N, то есть $PM = PN$.

Чтобы упростить вычисления, возведём обе части равенства в квадрат: $PM^2 = PN^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Координаты заданных точек: $M(-6; 3; 5)$ и $N(4; -7; 1)$.

Выразим квадраты расстояний $PM^2$ и $PN^2$:
$PM^2 = (x - (-6))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$
$PN^2 = (x - 4)^2 + (y - (-7))^2 + (z - 1)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Приравняем полученные выражения:
$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 14y + 49) + (z^2 - 2z + 1)$

Сократим члены $x^2$, $y^2$ и $z^2$, которые присутствуют в обеих частях уравнения:
$12x + 36 - 6y + 9 - 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 - 2z + 1$

Сгруппируем слагаемые с переменными в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:
$12x + 8x - 6y - 14y - 10z + 2z = 16 + 49 + 1 - 36 - 9 - 25$

Приведём подобные слагаемые:
$20x - 20y - 8z = 66 - 70$
$20x - 20y - 8z = -4$

Разделим все члены уравнения на 4 для упрощения:
$5x - 5y - 2z = -1$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение плоскости:
$5x - 5y - 2z + 1 = 0$

Ответ: $5x - 5y - 2z + 1 = 0$

6.7. Даны точки $M (3; a; -5)$ и $K (7; 1; a)$. При каком значении а прямая MK параллельна плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$?

Прямая MK будет параллельна плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$, если ее направляющий вектор $\vec{v}$ перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{v} = \vec{MK}$. Для этого вычтем из координат точки K координаты точки M: $M(3; a; -5)$ и $K(7; 1; a)$ $\vec{v} = \vec{MK} = (7-3; 1-a; a-(-5)) = (4; 1-a; a+5)$.

2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $4x - 3y + z - 6 = 0$ имеет координаты, соответствующие коэффициентам при $x, y$ и $z$: $\vec{n} = (4; -3; 1)$.

3. Условие перпендикулярности векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$ заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$. Запишем скалярное произведение и решим получившееся уравнение: $4 \cdot 4 + (1 - a) \cdot (-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0$ $16 - 3(1 - a) + a + 5 = 0$ $16 - 3 + 3a + a + 5 = 0$ $4a + 18 = 0$ $4a = -18$ $a = -\frac{18}{4}$ $a = -4.5$

При найденном значении $a$ прямая не лежит в плоскости, так как ни одна из точек (например, точка M) не удовлетворяет уравнению плоскости: $4(3) - 3(-4.5) + (-5) - 6 = 12 + 13.5 - 11 = 14.5 \neq 0$. Значит, прямая MK именно параллельна плоскости.

Ответ: -4.5

6.8. Параллельны ли плоскости:

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$;

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0?$

1) $x + 3y + 4z - 6 = 0$ и $3x + 9y + 12z - 12 = 0$

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны.

Условие параллельности плоскостей: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.

Если также $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают.

Для данных плоскостей коэффициенты равны:
$A_1 = 1, B_1 = 3, C_1 = 4, D_1 = -6$
$A_2 = 3, B_2 = 9, C_2 = 12, D_2 = -12$

Проверим соотношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{3}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{3}$, нормальные векторы коллинеарны, и плоскости параллельны или совпадают.

Теперь проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$, то есть $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, плоскости не совпадают. Следовательно, они параллельны.

Ответ: да, плоскости параллельны.

2) $x - 6y + 5z - 2 = 0$ и $2x + 3y - 4z + 6 = 0$

Для этой пары плоскостей коэффициенты равны:
$A_1 = 1, B_1 = -6, C_1 = 5, D_1 = -2$
$A_2 = 2, B_2 = 3, C_2 = -4, D_2 = 6$

Проверим пропорциональность координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-6}{3} = -2$

Уже видно, что $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, так как $\frac{1}{2} \neq -2$.

Поскольку условие пропорциональности координат нормальных векторов не выполняется, векторы не коллинеарны. Следовательно, плоскости не параллельны, они пересекаются.

Ответ: нет, плоскости не параллельны.

6.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку $M(2; 3; -9)$ параллельно плоскости $x + y - 5z + 3 = 0$.

Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n} = (A; B; C)$ является вектором нормали к этой плоскости.

По условию задачи, искомая плоскость параллельна плоскости, заданной уравнением $x + y - 5z + 3 = 0$. Условие параллельности двух плоскостей заключается в том, что их нормальные векторы коллинеарны. Это значит, что мы можем использовать тот же самый вектор нормали для искомой плоскости.

Из уравнения $x + y - 5z + 3 = 0$ находим координаты ее нормального вектора, взяв коэффициенты при $x$, $y$ и $z$:

$\vec{n} = (1; 1; -5)$

Следовательно, уравнение искомой плоскости будет иметь вид:

$1 \cdot x + 1 \cdot y - 5 \cdot z + D = 0$

или

$x + y - 5z + D = 0$

Чтобы найти коэффициент $D$, воспользуемся тем, что искомая плоскость проходит через точку $M(2; 3; -9)$. Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим значения $x=2$, $y=3$ и $z=-9$ в полученное уравнение:

$2 + 3 - 5(-9) + D = 0$

$5 + 45 + D = 0$

$50 + D = 0$

$D = -50$

Подставим найденное значение $D$ обратно в уравнение плоскости.

Ответ: $x + y - 5z - 50 = 0$

6.10. Найдите угол между плоскостями $2x - y + z - 3 = 0$ и $x + 2y - 3z + 4 = 0$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

В данном случае нам даны две плоскости:

1) $2x - y + z - 3 = 0$

2) $x + 2y - 3z + 4 = 0$

Координаты нормального вектора к плоскости, заданной в общем виде, равны коэффициентам при $x, y$ и $z$.

Для первой плоскости нормальный вектор: $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$.

Для второй плоскости нормальный вектор: $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$.

Далее найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла. По определению, угол между плоскостями считается острым, поэтому мы используем модуль скалярного произведения.

$\cos \phi = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}}$.

Упростим выражение в знаменателе:

$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.

Таким образом, $\cos \phi = \frac{3}{2\sqrt{21}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$:

$\cos \phi = \frac{3 \cdot \sqrt{21}}{2\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{3\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Угол $\phi$ между плоскостями — это арккосинус полученного значения.

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)$.

6.11. Перпендикулярны ли плоскости:

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0;$

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0?$

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются перпендикулярными, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0$

Найдем нормальные векторы для данных плоскостей. Координаты нормального вектора - это коэффициенты при переменных $x, y, z$ в уравнении плоскости.

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 5, -1)$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -2, -4)$.

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов, чтобы проверить условие перпендикулярности:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (5)(-2) + (-1)(-4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0$

Найдем нормальные векторы для этих плоскостей. Если какая-либо переменная отсутствует в уравнении, соответствующий коэффициент равен нулю.

Для первой плоскости, уравнение которой можно записать как $6x - 1y + 0z + 8 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (6, -1, 0)$.

Для второй плоскости, уравнение которой можно записать как $0x + 1y - 6z - 8 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -6)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(0) + (-1)(1) + (0)(-6) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \neq 0$), нормальные векторы не перпендикулярны. Следовательно, плоскости также не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.

6.12. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$.

1) при симметрии относительно начала координат;

Пусть точка $M(x, y, z)$ принадлежит исходной плоскости, уравнение которой $x - 2y + z - 1 = 0$. При симметрии относительно начала координат $(0, 0, 0)$ эта точка переходит в точку $M'(x', y', z')$. Координаты образа связаны с координатами прообраза следующими соотношениями:

$x' = -x$, откуда $x = -x'$
$y' = -y$, откуда $y = -y'$
$z' = -z$, откуда $z = -z'$

Чтобы найти уравнение образа плоскости, необходимо подставить выражения для $x, y, z$ в исходное уравнение:

$(-x') - 2(-y') + (-z') - 1 = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$-x' + 2y' - z' - 1 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$x' - 2y' + z' + 1 = 0$

Это и есть уравнение образа плоскости. В стандартной записи, опуская штрихи у координат, получаем:

Ответ: $x - 2y + z + 1 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$.

Пусть точка $M(x, y, z)$ принадлежит исходной плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$ она переходит в точку $M'(x', y', z')$. Формулы параллельного переноса:

$x' = x + 5$, откуда $x = x' - 5$
$y' = y - 2$, откуда $y = y' + 2$
$z' = z - 1$, откуда $z = z' + 1$

Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение исходной плоскости:

$(x' - 5) - 2(y' + 2) + (z' + 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x' - 5 - 2y' - 4 + z' + 1 - 1 = 0$

$x' - 2y' + z' + (-5 - 4 + 1 - 1) = 0$

$x' - 2y' + z' - 9 = 0$

Записывая уравнение в стандартном виде (без штрихов), получаем искомое уравнение плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 9 = 0$

6.13. Найдите уравнение образа плоскости $x+y-z+3=0$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k=-2$.

6.13.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $M(x, y, z)$ в точку $M'(x', y', z')$ согласно векторному равенству $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

В координатной форме это преобразование записывается как: $x' = kx$, $y' = ky$, $z' = kz$.

По условию задачи, центр гомотетии — начало координат, а коэффициент $k = -2$. Следовательно, формулы преобразования для координат любой точки $(x, y, z)$ и ее образа $(x', y', z')$ имеют вид: $x' = -2x$, $y' = -2y$, $z' = -2z$.

Чтобы найти уравнение образа плоскости, необходимо выразить "старые" координаты $(x, y, z)$ через "новые" $(x', y', z')$:$x = -\frac{x'}{2}$, $y = -\frac{y'}{2}$, $z = -\frac{z'}{2}$.

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение плоскости $x + y - z + 3 = 0$:$(-\frac{x'}{2}) + (-\frac{y'}{2}) - (-\frac{z'}{2}) + 3 = 0$.

Упростим полученное выражение:$-\frac{x'}{2} - \frac{y'}{2} + \frac{z'}{2} + 3 = 0$.

Для избавления от дробей умножим все члены уравнения на $-2$:$(-2) \cdot (-\frac{x'}{2}) + (-2) \cdot (-\frac{y'}{2}) + (-2) \cdot (\frac{z'}{2}) + (-2) \cdot 3 = 0 \cdot (-2)$,что приводит к уравнению:$x' + y' - z' - 6 = 0$.

Это и есть уравнение искомой плоскости (образа). В итоговой записи принято опускать штрихи у переменных, обозначая координаты точек на новой плоскости как $(x, y, z)$.

Ответ: $x + y - z - 6 = 0$

6.14. Докажите, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид $ax + by + d = 0$. Какой вид имеет уравнение плоскости, параллельной:

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор, перпендикулярный (нормальный) к этой плоскости, — это вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$.

Ось аппликат — это ось $Oz$. Ее направляющий вектор — $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Плоскость параллельна прямой, если вектор нормали плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Следовательно, для плоскости, параллельной оси аппликат, должно выполняться условие $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$.
Найдем скалярное произведение: $\vec{n} \cdot \vec{k} = (A, B, C) \cdot (0, 0, 1) = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = C$.

Из условия $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ следует, что $C=0$. Подставив это значение в общее уравнение плоскости, получаем: $Ax + By + 0 \cdot z + D = 0$, что упрощается до $Ax + By + D = 0$. Используя коэффициенты из условия задачи, мы получаем уравнение вида $ax + by + d = 0$, что и требовалось доказать.

Теперь определим вид уравнения плоскости, параллельной другим осям.

1) оси абсцисс
Направляющий вектор оси абсцисс (оси $Ox$) — это $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Условие параллельности плоскости оси $Ox$: $\vec{n} \cdot \vec{i} = 0$.
$(A, B, C) \cdot (1, 0, 0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = A$.
Таким образом, $A = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $By + Cz + D = 0$.
Ответ: $by + cz + d = 0$.

2) оси ординат
Направляющий вектор оси ординат (оси $Oy$) — это $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Условие параллельности плоскости оси $Oy$: $\vec{n} \cdot \vec{j} = 0$.
$(A, B, C) \cdot (0, 1, 0) = A \cdot 0 + B \cdot 1 + C \cdot 0 = B$.
Таким образом, $B = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $Ax + Cz + D = 0$.
Ответ: $ax + cz + d = 0$.