Номер 6.6, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.6. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек $M(-6; 3; 5)$ и $N(4; -7; 1)$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек M и N, представляет собой плоскость, которая перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину.

Пусть произвольная точка $P(x; y; z)$ принадлежит искомому геометрическому месту точек. По условию, расстояние от точки P до точки M равно расстоянию от точки P до точки N, то есть $PM = PN$.

Чтобы упростить вычисления, возведём обе части равенства в квадрат: $PM^2 = PN^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Координаты заданных точек: $M(-6; 3; 5)$ и $N(4; -7; 1)$.

Выразим квадраты расстояний $PM^2$ и $PN^2$:
$PM^2 = (x - (-6))^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$
$PN^2 = (x - 4)^2 + (y - (-7))^2 + (z - 1)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Приравняем полученные выражения:
$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = (x - 4)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 14y + 49) + (z^2 - 2z + 1)$

Сократим члены $x^2$, $y^2$ и $z^2$, которые присутствуют в обеих частях уравнения:
$12x + 36 - 6y + 9 - 10z + 25 = -8x + 16 + 14y + 49 - 2z + 1$

Сгруппируем слагаемые с переменными в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:
$12x + 8x - 6y - 14y - 10z + 2z = 16 + 49 + 1 - 36 - 9 - 25$

Приведём подобные слагаемые:
$20x - 20y - 8z = 66 - 70$
$20x - 20y - 8z = -4$

Разделим все члены уравнения на 4 для упрощения:
$5x - 5y - 2z = -1$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение плоскости:
$5x - 5y - 2z + 1 = 0$

Ответ: $5x - 5y - 2z + 1 = 0$