Номер 6.11, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.11. Перпендикулярны ли плоскости:

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0;$

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0?$

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются перпендикулярными, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

1) $2x + 5y - z + 7 = 0$ и $3x - 2y - 4z - 9 = 0$

Найдем нормальные векторы для данных плоскостей. Координаты нормального вектора - это коэффициенты при переменных $x, y, z$ в уравнении плоскости.

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 5, -1)$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -2, -4)$.

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов, чтобы проверить условие перпендикулярности:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(3) + (5)(-2) + (-1)(-4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

2) $6x - y + 8 = 0$ и $y - 6z - 8 = 0$

Найдем нормальные векторы для этих плоскостей. Если какая-либо переменная отсутствует в уравнении, соответствующий коэффициент равен нулю.

Для первой плоскости, уравнение которой можно записать как $6x - 1y + 0z + 8 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (6, -1, 0)$.

Для второй плоскости, уравнение которой можно записать как $0x + 1y - 6z - 8 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -6)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(0) + (-1)(1) + (0)(-6) = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \neq 0$), нормальные векторы не перпендикулярны. Следовательно, плоскости также не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.