Номер 6.14, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.14. Докажите, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид $ax + by + d = 0$. Какой вид имеет уравнение плоскости, параллельной:

Общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор, перпендикулярный (нормальный) к этой плоскости, — это вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$.

Ось аппликат — это ось $Oz$. Ее направляющий вектор — $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Плоскость параллельна прямой, если вектор нормали плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Следовательно, для плоскости, параллельной оси аппликат, должно выполняться условие $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$.
Найдем скалярное произведение: $\vec{n} \cdot \vec{k} = (A, B, C) \cdot (0, 0, 1) = A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = C$.

Из условия $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ следует, что $C=0$. Подставив это значение в общее уравнение плоскости, получаем: $Ax + By + 0 \cdot z + D = 0$, что упрощается до $Ax + By + D = 0$. Используя коэффициенты из условия задачи, мы получаем уравнение вида $ax + by + d = 0$, что и требовалось доказать.

Теперь определим вид уравнения плоскости, параллельной другим осям.

1) оси абсцисс
Направляющий вектор оси абсцисс (оси $Ox$) — это $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Условие параллельности плоскости оси $Ox$: $\vec{n} \cdot \vec{i} = 0$.
$(A, B, C) \cdot (1, 0, 0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = A$.
Таким образом, $A = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $By + Cz + D = 0$.
Ответ: $by + cz + d = 0$.

2) оси ординат
Направляющий вектор оси ординат (оси $Oy$) — это $\vec{j} = (0, 1, 0)$. Условие параллельности плоскости оси $Oy$: $\vec{n} \cdot \vec{j} = 0$.
$(A, B, C) \cdot (0, 1, 0) = A \cdot 0 + B \cdot 1 + C \cdot 0 = B$.
Таким образом, $B = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $Ax + Cz + D = 0$.
Ответ: $ax + cz + d = 0$.