Номер 6.20, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $4 \text{ см}$. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AD$ и $BB_1$ соответственно. На ребре $CD$ отметили точку $E$, а на его продолжении за точку $D$ — точку $F$ так, что $DE = 1 \text{ см}$, а точка $D$ — середина отрезка $CF$. Докажите, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DA$, ось $y$ вдоль ребра $DC$ и ось $z$ вдоль ребра $DD_1$. Ребро куба равно 4 см.

Найдем координаты вершин и точек.

В данной системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$
$A(4, 0, 0)$
$C(0, 4, 0)$
$D_1(0, 0, 4)$

Найдем координаты точек $M, K, E, F$:
- Точка $M$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $M\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2; 0; 0)$.
- Чтобы найти координаты точки $K$, сначала найдем координаты вершин $B$ и $B_1$. $B(4; 4; 0)$, $B_1(4; 4; 4)$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Ее координаты: $K\left(\frac{4+4}{2}; \frac{4+4}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = K(4; 4; 2)$.
- Точка $E$ лежит на ребре $CD$ (оси $y$) так, что $DE = 1$ см. Ее координаты: $E(0; 1; 0)$.
- Точка $D$ — середина отрезка $CF$. Координаты $C(0; 4; 0)$ и $D(0; 0; 0)$. Пусть $F(x_F; y_F; z_F)$. Тогда $x_D = \frac{x_C+x_F}{2}$, $y_D = \frac{y_C+y_F}{2}$, $z_D = \frac{z_C+z_F}{2}$.
$0 = \frac{0+x_F}{2} \Rightarrow x_F=0$
$0 = \frac{4+y_F}{2} \Rightarrow y_F=-4$
$0 = \frac{0+z_F}{2} \Rightarrow z_F=0$
Следовательно, координаты точки $F(0; -4; 0)$.

Найдем координаты векторов.

Чтобы доказать, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$, нужно доказать, что вектор $\vec{KF}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, векторам $\vec{ME}$ и $\vec{MD_1}$.
Найдем координаты этих векторов:
$\vec{KF} = \{0-4; -4-4; 0-2\} = \{-4; -8; -2\}$
$\vec{ME} = \{0-2; 1-0; 0-0\} = \{-2; 1; 0\}$
$\vec{MD_1} = \{0-2; 0-0; 4-0\} = \{-2; 0; 4\}$

Проверим перпендикулярность векторов.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Найдем скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{ME}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{ME} = (-4) \cdot (-2) + (-8) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 8 - 8 + 0 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{KF} \perp \vec{ME}$, а значит $KF \perp ME$.

Найдем скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{MD_1}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{MD_1} = (-4) \cdot (-2) + (-8) \cdot 0 + (-2) \cdot 4 = 8 + 0 - 8 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{KF} \perp \vec{MD_1}$, а значит $KF \perp MD_1$.

Поскольку прямая $KF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ME$ и $MD_1$) в плоскости $MD_1E$, то прямая $KF$ перпендикулярна самой плоскости $MD_1E$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.