Номер 6.25, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.25. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, сторона которого равна 1 см. Известно, что $\angle BAC = 60^\circ$, $AA_1 = 4$ см. Точка $M$ принадлежит отрезку $AC_1$ и делит его в отношении $1 : 2$, считая от точки $A$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ перпендикулярно прямой $AC_1$, пересекает прямую $BB_1$ в точке $P$. Найдите отрезок $BP$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$, а оси $Ox$ и $Oy$ расположим в плоскости основания $ABCD$.

1. Определение свойств основания и координат вершин.

Основание $ABCD$ — ромб со стороной 1 см. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 1$ см. По условию $\angle BAC = 60^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BCA = \angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Таким образом, $\triangle ABC$ является равносторонним, и все его стороны равны 1 см, включая диагональ ромба $AC$.

Теперь найдем координаты вершин:

• Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$.
• Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AC$. Так как $AC=1$, то $C(1, 0, 0)$.
• Точка $B$ находится в плоскости $Oxy$ на расстоянии 1 от $A$ и 1 от $C$. Координаты точки $B(x, y, 0)$ должны удовлетворять системе уравнений:
  $x^2 + y^2 = 1^2$ (расстояние $AB=1$)
  $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$ (расстояние $CB=1$)
  Из второго уравнения: $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$. Подставляя $x^2 + y^2 = 1$ из первого уравнения, получаем: $1 - 2x + 1 = 1$, откуда $2x=1$ и $x = 1/2$.
  Тогда $y^2 = 1 - x^2 = 1 - (1/2)^2 = 3/4$, откуда $y = \sqrt{3}/2$ (выбираем положительное значение).
  Итак, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Так как параллелепипед прямой и $AA_1 = 4$ см, то $A_1(0, 0, 4)$ и $C_1(1, 0, 4)$.

2. Нахождение координат точки M.

Точка $M$ делит отрезок $AC_1$ в отношении $AM : MC_1 = 1:2$. Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$:
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 0-0, 4-0) = (1, 0, 4)$.
Координаты точки $M$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:
$\vec{AM} = \frac{1}{1+2} \vec{AC_1} = \frac{1}{3} \vec{AC_1} = (\frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3})$.
Таким образом, $M(\frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3})$.

3. Составление уравнения плоскости $\alpha$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $AC_1$. Это означает, что вектор $\vec{AC_1}=(1, 0, 4)$ является нормальным вектором (вектором нормали) к плоскости $\alpha$.
Уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n}=(a, b, c)$ и проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид:
$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
Подставляем координаты $M$ и вектора $\vec{AC_1}$:
$1 \cdot (x - \frac{1}{3}) + 0 \cdot (y - 0) + 4 \cdot (z - \frac{4}{3}) = 0$.
$x - \frac{1}{3} + 4z - \frac{16}{3} = 0$.
$x + 4z - \frac{17}{3} = 0$.
Или, умножив на 3: $3x + 12z - 17 = 0$.

4. Нахождение точки P и длины отрезка BP.

Точка $P$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $BB_1$.
Координаты точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Ребро $BB_1$ параллельно оси $Oz$. Следовательно, любая точка на прямой $BB_1$, включая точку $P$, будет иметь координаты $x = 1/2$ и $y = \sqrt{3}/2$. Обозначим координаты точки $P$ как $(1/2, \sqrt{3}/2, z_P)$.
Поскольку точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости $3x + 12z - 17 = 0$:
$3 \cdot (\frac{1}{2}) + 12 \cdot z_P - 17 = 0$.
$\frac{3}{2} + 12z_P - 17 = 0$.
$12z_P = 17 - \frac{3}{2} = \frac{34-3}{2} = \frac{31}{2}$.
$z_P = \frac{31}{2 \cdot 12} = \frac{31}{24}$.
Итак, координаты точки $P(1/2, \sqrt{3}/2, 31/24)$.
Точка $B$ имеет координаты $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Отрезок $BP$ параллелен оси $Oz$, поэтому его длина равна разности аппликат (координат $z$) точек $P$ и $B$:
$BP = |z_P - z_B| = |\frac{31}{24} - 0| = \frac{31}{24}$ см.

Ответ: $BP = \frac{31}{24}$ см.