Номер 6.32, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.32. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 24 см, а высота – 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD = 24$ см, меньшее основание $BC = 10$ см, а высота $h = 17$ см.
Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, для $\triangle ABD$. Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.
Найдем длины сторон треугольника $ABD$ и его площадь.
Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем боковую сторону $AB$:
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{7^2 + 17^2} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338}$ см.
Для нахождения диагонали $BD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $BH = 17$ см. Длина второго катета $HD = AD - AH = 24 - 7 = 17$ см.
По теореме Пифагора для $\triangle BHD$ найдем диагональ $BD$:
$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{17^2 + 17^2} = \sqrt{2 \cdot 17^2} = 17\sqrt{2}$ см.
Теперь у нас есть все три стороны треугольника $ABD$: $AD=24$ см, $AB=\sqrt{338}$ см и $BD=17\sqrt{2}$ см.
Площадь треугольника $ABD$ равна половине произведения основания $AD$ на высоту $BH$:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 17 = 12 \cdot 17 = 204$ см$^2$.
Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AD \cdot AB \cdot BD}{4 S_{ABD}} = \frac{24 \cdot \sqrt{338} \cdot 17\sqrt{2}}{4 \cdot 204}$.
Поскольку $\sqrt{338} = \sqrt{2 \cdot 169} = 13\sqrt{2}$, получаем:
$R = \frac{24 \cdot 13\sqrt{2} \cdot 17\sqrt{2}}{4 \cdot 204} = \frac{24 \cdot 13 \cdot 17 \cdot (\sqrt{2})^2}{4 \cdot 204} = \frac{24 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 2}{4 \cdot 204}$.
Упростим выражение, зная что $204 = 12 \cdot 17$:
$R = \frac{24 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 2}{4 \cdot 12 \cdot 17} = \frac{(2 \cdot 12) \cdot 13 \cdot 2}{4 \cdot 12} = \frac{4 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 12} = 13$ см.
Ответ: 13 см.