Номер 6.33, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.33. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM : MC = 4 : 5$, $BK : KC = 1 : 3$. Отрезки $AK$ и $BM$ пересекаются в точке $D$, $DK = 10$ см. Найдите отрезок $AD$.

Для решения задачи воспользуемся методом подобия треугольников, которые мы получим с помощью дополнительного построения. Также можно использовать теорему Менелая.

Решение с помощью дополнительного построения (подобные треугольники)

1. Проведем через точку K прямую, параллельную стороне AC. Пусть эта прямая пересекает отрезок BM в точке F. Таким образом, по построению имеем $KF \parallel AC$.

2. Рассмотрим треугольник $BMC$. Поскольку $KF \parallel MC$ (так как $KF \parallel AC$ и точка $M$ лежит на стороне $AC$), треугольник $BKF$ подобен треугольнику $BCM$ по двум углам ($ \angle CBM $ — общий, а $ \angle BKF = \angle BCM $ как соответственные углы при параллельных прямых $KF$ и $AC$ и секущей $BC$).

Из подобия треугольников $ \triangle BKF \sim \triangle BCM $ следует соотношение их сторон:

$ \frac{BK}{BC} = \frac{KF}{MC} $

По условию $BK : KC = 1 : 3$. Если принять длину отрезка $BK$ за $x$, то длина $KC$ будет $3x$. Тогда длина всей стороны $BC$ равна $BC = BK + KC = x + 3x = 4x$.

Следовательно, отношение $ \frac{BK}{BC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} $.

Подставим это значение в соотношение сторон подобных треугольников:

$ \frac{KF}{MC} = \frac{1}{4} \implies KF = \frac{1}{4} MC $.

3. Теперь рассмотрим треугольники $ADM$ и $KDF$. Они образованы пересечением отрезков $AK$ и $BM$ в точке $D$.

Так как по построению $KF \parallel AM$ (поскольку $KF \parallel AC$), то эти треугольники подобны. Углы $ \angle ADM $ и $ \angle KDF $ равны как вертикальные, а углы $ \angle MAD $ и $ \angle FKD $ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AM$ и $KF$ и секущей $AK$.

Следовательно, $ \triangle ADM \sim \triangle KDF $ по двум углам. Из подобия следует соотношение их сторон:

$ \frac{AD}{KD} = \frac{AM}{KF} $

4. Из условия задачи известно, что $AM : MC = 4 : 5$, откуда можно выразить $MC$ через $AM$: $MC = \frac{5}{4} AM$.

В шаге 2 мы нашли, что $KF = \frac{1}{4} MC$. Подставим в это равенство выражение для $MC$:

$ KF = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} AM \right) = \frac{5}{16} AM $.

Теперь подставим полученное выражение для $KF$ в соотношение сторон из шага 3:

$ \frac{AD}{KD} = \frac{AM}{\frac{5}{16} AM} = \frac{1}{\frac{5}{16}} = \frac{16}{5} $.

5. Мы получили искомое отношение $ \frac{AD}{KD} = \frac{16}{5} $. По условию $DK = 10$ см. Найдем длину отрезка $AD$:

$ AD = \frac{16}{5} \cdot KD = \frac{16}{5} \cdot 10 = 16 \cdot 2 = 32 $ см.

Решение с помощью теоремы Менелая

Рассмотрим треугольник $AKC$ и секущую (трансверсаль) $BMD$, которая пересекает его стороны $AC$ и $AK$ в точках $M$ и $D$ соответственно, а также продолжение стороны $CK$ в точке $B$.

По теореме Менелая для $ \triangle AKC $ и секущей $BMD$ справедливо соотношение:

$ \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BK} \cdot \frac{KD}{DA} = 1 $

Найдем значения отношений из условия задачи:

$ \frac{AM}{MC} = \frac{4}{5} $

Из соотношения $BK : KC = 1 : 3$ следует, что $BC = BK + KC = BK + 3BK = 4BK$. Отсюда:

$ \frac{CB}{BK} = \frac{4BK}{BK} = 4 $

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$ \frac{4}{5} \cdot 4 \cdot \frac{KD}{DA} = 1 $

$ \frac{16}{5} \cdot \frac{KD}{DA} = 1 $

$ \frac{KD}{DA} = \frac{5}{16} \implies \frac{AD}{DK} = \frac{16}{5} $

Зная, что $DK = 10$ см, находим $AD$:

$ AD = \frac{16}{5} \cdot DK = \frac{16}{5} \cdot 10 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.