Номер 6.29, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.29. Основанием тетраэдра $SABC$ является прямоугольный треугольник $ABC (\angle BAC = 90^\circ)$. Ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Рёбра $AB$, $AC$ и $AS$ относятся как $3 : 4 : 1$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. Точка $K$ принадлежит ребру $AC$ и делит его в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $MNK$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и $\angle BAC = 90^{\circ}$, мы можем поместить начало координат в точку $A$, направить ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $SA$.

По условию, рёбра $AB, AC$ и $AS$ относятся как $3 : 4 : 1$. Введем коэффициент пропорциональности $k > 0$. Тогда длины рёбер будут равны: $AB = 3k$, $AC = 4k$, $AS = k$.

В выбранной системе координат найдём координаты вершин тетраэдра:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(3k; 0; 0)$
• $C(0; 4k; 0)$
• $S(0; 0; k)$

Теперь найдём координаты точек $M, N$ и $K$.

• Точка $M$ — середина ребра $AB$. Её координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$: $M\left(\frac{0+3k}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{3k}{2}; 0; 0\right)$
• Точка $N$ — середина ребра $SC$. Её координаты равны полусумме координат точек $S$ и $C$: $N\left(\frac{0+0}{2}; \frac{0+4k}{2}; \frac{k+0}{2}\right) = N\left(0; 2k; \frac{k}{2}\right)$
• Точка $K$ принадлежит ребру $AC$ и делит его в отношении $AK : KC = 1 : 3$. Длина ребра $AC$ равна $4k$. Следовательно, длина отрезка $AK$ равна $\frac{1}{1+3} \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 4k = k$. Так как точка $K$ лежит на оси $Oy$, её координаты: $K(0; k; 0)$

Угол между плоскостями $ABC$ и $MNK$ равен углу между их нормальными векторами.

Плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Её уравнение $z=0$. Нормальный вектор к этой плоскости коллинеарен оси $Oz$. Возьмём в качестве нормального вектора $\vec{n_1} = (0; 0; 1)$.

Для нахождения нормального вектора $\vec{n_2}$ к плоскости $MNK$ найдём координаты двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{MK}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{MK} = \{x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M\} = \left\{0 - \frac{3k}{2}; k - 0; 0 - 0\right\} = \left\{-\frac{3k}{2}; k; 0\right\}$

$\vec{MN} = \{x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M\} = \left\{0 - \frac{3k}{2}; 2k - 0; \frac{k}{2} - 0\right\} = \left\{-\frac{3k}{2}; 2k; \frac{k}{2}\right\}$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $MNK$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{n_2} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{3k}{2} & k & 0 \\ -\frac{3k}{2} & 2k & \frac{k}{2} \end{vmatrix} = $

$= \vec{i}\left(k \cdot \frac{k}{2} - 0 \cdot 2k\right) - \vec{j}\left(-\frac{3k}{2} \cdot \frac{k}{2} - 0 \cdot \left(-\frac{3k}{2}\right)\right) + \vec{k}\left(-\frac{3k}{2} \cdot 2k - k \cdot \left(-\frac{3k}{2}\right)\right) = $

$= \vec{i}\left(\frac{k^2}{2}\right) - \vec{j}\left(-\frac{3k^2}{4}\right) + \vec{k}\left(-3k^2 + \frac{3k^2}{2}\right) = \vec{i}\left(\frac{k^2}{2}\right) + \vec{j}\left(\frac{3k^2}{4}\right) - \vec{k}\left(\frac{3k^2}{2}\right)$

Таким образом, $\vec{n_2} = \left\{\frac{k^2}{2}; \frac{3k^2}{4}; -\frac{3k^2}{2}\right\}$. Для удобства вычислений можно взять любой коллинеарный этому вектору вектор. Умножим его координаты на $\frac{4}{k^2}$:

$\vec{n_2'} = \left\{\frac{k^2}{2} \cdot \frac{4}{k^2}; \frac{3k^2}{4} \cdot \frac{4}{k^2}; -\frac{3k^2}{2} \cdot \frac{4}{k^2}\right\} = \{2; 3; -6\}$

Теперь найдём косинус угла $\alpha$ между нормальными векторами $\vec{n_1} = \{0; 0; 1\}$ и $\vec{n_2'} = \{2; 3; -6\}$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2'}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2'}|} = \frac{|0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-6)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{4+9+36}} = \frac{6}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$

Угол $\alpha$ между плоскостями равен арккосинусу этого значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{6}{7}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{6}{7}\right)$