Номер 6.24, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.24. В тетраэдре $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Известно, что $AC = CB = a$, $AS = AB = a\sqrt{2}$. Через середину ребра $AC$ проведена плоскость перпендикулярно прямой $SB$. В каком отношении, считая от точки $C$, проведённая плоскость делит ребро $SC$?

Решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как по условию ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а в треугольнике $ABC$ стороны $AC=a$, $CB=a$ и $AB=a\sqrt{2}$, то выполняется теорема Пифагора: $AC^2 + CB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = AB^2$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Разместим начало координат в точке $C(0, 0, 0)$. Ось $Cx$ направим вдоль ребра $CA$, ось $Cy$ — вдоль ребра $CB$, а ось $Cz$ — параллельно ребру $SA$.

В этой системе координат вершины тетраэдра будут иметь следующие координаты:

• $C = (0, 0, 0)$
• $A = (a, 0, 0)$ (так как $AC=a$ и лежит на оси $Cx$)
• $B = (0, a, 0)$ (так как $CB=a$ и лежит на оси $Cy$)

• $S = (a, 0, a\sqrt{2})$

Пусть $\alpha$ — плоскость, проведенная через середину ребра $AC$ перпендикулярно прямой $SB$. Обозначим середину ребра $AC$ как точку $M$. Координаты точки $M$: $M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $SB$, то вектор $\vec{SB}$ является нормальным вектором (вектором нормали) к этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{SB}$: $\vec{SB} = B - S = (0-a, a-0, 0-a\sqrt{2}) = (-a, a, -a\sqrt{2})$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $n_x(x-x_0) + n_y(y-y_0) + n_z(z-z_0) = 0$, где $(n_x, n_y, n_z)$ — координаты нормального вектора, а $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки, принадлежащей плоскости. Используем вектор $\vec{SB}$ в качестве нормального вектора и точку $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$: $-a\left(x - \frac{a}{2}\right) + a(y - 0) - a\sqrt{2}(z - 0) = 0$.

Разделим обе части уравнения на $-a$ (поскольку $a \ne 0$): $\left(x - \frac{a}{2}\right) - y + \sqrt{2}z = 0$ $x - y + \sqrt{2}z = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем точку $K$, в которой эта плоскость пересекает ребро $SC$. Для этого составим параметрическое уравнение прямой $SC$. Вектор направления прямой $SC$ — это вектор $\vec{SC}$: $\vec{SC} = C - S = (0-a, 0-0, 0-a\sqrt{2}) = (-a, 0, -a\sqrt{2})$. Однако удобнее использовать вектор $\vec{CS} = (a, 0, a\sqrt{2})$. Уравнение прямой $SC$, проходящей через точку $C(0,0,0)$: $K(t) = C + t \cdot \vec{CS} = (0,0,0) + t(a, 0, a\sqrt{2}) = (at, 0, at\sqrt{2})$. Здесь параметр $t$ изменяется от $0$ (точка $C$) до $1$ (точка $S$).

Чтобы найти точку пересечения $K$, подставим ее координаты из параметрического уравнения в уравнение плоскости $\alpha$: $(at) - (0) + \sqrt{2}(at\sqrt{2}) = \frac{a}{2}$ $at + 2at = \frac{a}{2}$ $3at = \frac{a}{2}$ $t = \frac{a/2}{3a} = \frac{1}{6}$.

Значение параметра $t = \frac{1}{6}$ показывает, что точка $K$ делит отрезок $SC$ в отношении, где длина отрезка $CK$ составляет $\frac{1}{6}$ от длины всего отрезка $SC$. То есть, $CK = \frac{1}{6} SC$. Оставшаяся часть отрезка, $KS$, будет равна: $KS = SC - CK = SC - \frac{1}{6}SC = \frac{5}{6}SC$.

Требуемое отношение, считая от точки $C$, равно: $\frac{CK}{KS} = \frac{\frac{1}{6}SC}{\frac{5}{6}SC} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $1:5$.