Номер 6.22, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.22. Рёбра $AD$, $AB$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 3 см, 6 см и 12 см. Точка $M$ принадлежит отрезку $CA_1$ и делит его в отношении $1:2$, считая от точки $C$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ перпендикулярно прямой $CA_1$, пересекает прямую $AA_1$ в точке $K$. Найдите отрезок $AK$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат, согласно условию ($AD=3$ см, $AB=6$ см, $AA_1=12$ см), вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(6, 0, 0)$
• $D(0, 3, 0)$
• $C(6, 3, 0)$
• $A_1(0, 0, 12)$

Точка $M$ принадлежит отрезку $CA_1$ и делит его в отношении $CM : MA_1 = 1 : 2$. Найдем координаты точки $M$ по формуле деления отрезка в заданном отношении:

$x_M = \frac{2 \cdot x_C + 1 \cdot x_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 0}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$y_M = \frac{2 \cdot y_C + 1 \cdot y_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$z_M = \frac{2 \cdot z_C + 1 \cdot z_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M(4, 2, 4)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $CA_1$. Это означает, что вектор $\vec{CA_1}$ является вектором нормали к плоскости $\alpha$. Найдем координаты этого вектора:

$\vec{CA_1} = (x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C) = (0 - 6; 0 - 3; 12 - 0) = (-6, -3, 12)$.

Уравнение плоскости с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. Подставим координаты вектора $\vec{CA_1}$ и точки $M$:

$-6(x - 4) - 3(y - 2) + 12(z - 4) = 0$.

Разделим обе части уравнения на $-3$ для упрощения:

$2(x - 4) + (y - 2) - 4(z - 4) = 0$

$2x - 8 + y - 2 - 4z + 16 = 0$

$2x + y - 4z + 6 = 0$

Это и есть уравнение плоскости $\alpha$.

Точка $K$ — это точка пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $AA_1$. Прямая $AA_1$ совпадает с осью $Oz$, поэтому любая точка на ней имеет координаты $(0, 0, z)$. Следовательно, координаты точки $K$ равны $(0, 0, z_K)$.

Чтобы найти $z_K$, подставим координаты точки $K$ в уравнение плоскости $\alpha$:

$2 \cdot 0 + 0 - 4z_K + 6 = 0$

$-4z_K = -6$

$z_K = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Координаты точки $K$ равны $(0, 0, 1.5)$.

Длина отрезка $AK$ — это расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $K(0, 0, 1.5)$.

$AK = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{1.5^2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.