Номер 6.19, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.19. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A $(1; 2; 3)$, B $(4; 1; 2)$ и C $(2; -1; 1)$.

Для того чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три точки, необходимо найти вектор нормали к этой плоскости. Вектор нормали можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

1. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, с общим началом в точке A. Пусть это будут векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат конца (B) и начала (A):
$\vec{AB} = (4-1; 1-2; 2-3) = (3; -1; -1)$

Координаты вектора $\vec{AC}$ находятся как разность координат конца (C) и начала (A):
$\vec{AC} = (2-1; -1-2; 1-3) = (1; -3; -2)$

2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Найдем его через векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = $ $
= \vec{i}((-1) \cdot (-2) - (-1) \cdot (-3)) - \vec{j}(3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1) = $ $
= \vec{i}(2 - 3) - \vec{j}(-6 + 1) + \vec{k}(-9 + 1) = -1\vec{i} + 5\vec{j} - 8\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}$ имеет координаты $(-1; 5; -8)$.

3. Теперь, имея вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (-1; 5; -8)$ и точку, через которую проходит плоскость (например, точку $A(1; 2; 3)$), можно составить уравнение плоскости по формуле:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим значения:

$-1(x - 1) + 5(y - 2) - 8(z - 3) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x + 1 + 5y - 10 - 8z + 24 = 0$

$-x + 5y - 8z + 15 = 0$

Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, умножим все уравнение на -1:

$x - 5y + 8z - 15 = 0$

Ответ: $x - 5y + 8z - 15 = 0$