Номер 6.12, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.12. Найдите уравнение образа плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$.

1) при симметрии относительно начала координат;

Пусть точка $M(x, y, z)$ принадлежит исходной плоскости, уравнение которой $x - 2y + z - 1 = 0$. При симметрии относительно начала координат $(0, 0, 0)$ эта точка переходит в точку $M'(x', y', z')$. Координаты образа связаны с координатами прообраза следующими соотношениями:

$x' = -x$, откуда $x = -x'$
$y' = -y$, откуда $y = -y'$
$z' = -z$, откуда $z = -z'$

Чтобы найти уравнение образа плоскости, необходимо подставить выражения для $x, y, z$ в исходное уравнение:

$(-x') - 2(-y') + (-z') - 1 = 0$

Раскрывая скобки, получаем:

$-x' + 2y' - z' - 1 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$x' - 2y' + z' + 1 = 0$

Это и есть уравнение образа плоскости. В стандартной записи, опуская штрихи у координат, получаем:

Ответ: $x - 2y + z + 1 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$.

Пусть точка $M(x, y, z)$ принадлежит исходной плоскости $x - 2y + z - 1 = 0$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(5; -2; -1)$ она переходит в точку $M'(x', y', z')$. Формулы параллельного переноса:

$x' = x + 5$, откуда $x = x' - 5$
$y' = y - 2$, откуда $y = y' + 2$
$z' = z - 1$, откуда $z = z' + 1$

Подставим выражения для $x, y, z$ в уравнение исходной плоскости:

$(x' - 5) - 2(y' + 2) + (z' + 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x' - 5 - 2y' - 4 + z' + 1 - 1 = 0$

$x' - 2y' + z' + (-5 - 4 + 1 - 1) = 0$

$x' - 2y' + z' - 9 = 0$

Записывая уравнение в стандартном виде (без штрихов), получаем искомое уравнение плоскости.

Ответ: $x - 2y + z - 9 = 0$