Номер 6.10, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.10. Найдите угол между плоскостями $2x - y + z - 3 = 0$ и $x + 2y - 3z + 4 = 0$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла находится по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$

В данном случае нам даны две плоскости:

1) $2x - y + z - 3 = 0$

2) $x + 2y - 3z + 4 = 0$

Координаты нормального вектора к плоскости, заданной в общем виде, равны коэффициентам при $x, y$ и $z$.

Для первой плоскости нормальный вектор: $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$.

Для второй плоскости нормальный вектор: $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 2 - 2 - 3 = -3$.

Далее найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла. По определению, угол между плоскостями считается острым, поэтому мы используем модуль скалярного произведения.

$\cos \phi = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}}$.

Упростим выражение в знаменателе:

$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.

Таким образом, $\cos \phi = \frac{3}{2\sqrt{21}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$:

$\cos \phi = \frac{3 \cdot \sqrt{21}}{2\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{2 \cdot 21} = \frac{3\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Угол $\phi$ между плоскостями — это арккосинус полученного значения.

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)$.