Номер 6.26, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.26. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Точки $M$ и $N$ принадлежат рёбрам $AA_1$ и $BC$ соответственно. Известно, что $AM = \frac{1}{3}$ см, $BN = \frac{1}{4}$ см. Точка $O$ — середина отрезка $DB_1$. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $MON$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Ребро куба равно 1 см.

В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $C(1, 1, 0)$
• $D(0, 1, 0)$
• $A_1(0, 0, 1)$
• $B_1(1, 0, 1)$
• $C_1(1, 1, 1)$
• $D_1(0, 1, 1)$

Найдем координаты точек $M$, $N$ и $O$.

1. Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$ и $AM = \frac{1}{3}$ см. Так как $A=(0,0,0)$ и $A_1=(0,0,1)$, то координаты точки $M$ будут $(0, 0, \frac{1}{3})$. Итак, $M(0, 0, \frac{1}{3})$.

2. Точка $N$ принадлежит ребру $BC$ и $BN = \frac{1}{4}$ см. Координаты вершин $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты $(1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$. Тогда точка $N$ имеет координаты $B + \frac{1}{4}\vec{BC} = (1, 0, 0) + \frac{1}{4}(0, 1, 0) = (1, \frac{1}{4}, 0)$. Итак, $N(1, \frac{1}{4}, 0)$.

3. Точка $O$ — середина отрезка $DB_1$. Координаты вершин $D(0,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов: $O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Итак, $O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $MON$. Для этого составим векторы $\vec{OM}$ и $\vec{ON}$ и найдем их векторное произведение, которое будет вектором нормали к плоскости.

$\vec{OM} = M - O = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{6}\right)$.

$\vec{ON} = N - O = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - \frac{1}{2}, 0 - \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{2}\right)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $MON$ равен векторному произведению $\vec{OM} \times \vec{ON}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -1/2 & -1/6 \\ 1/2 & -1/4 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{6}\right)\left(-\frac{1}{4}\right)\right) - \mathbf{j}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\right) + \mathbf{k}\left(\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\right)$

$\vec{n} = \mathbf{i}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{24}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right) + \mathbf{k}\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{4}\right) = \mathbf{i}\left(\frac{5}{24}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{3}\right) + \mathbf{k}\left(\frac{3}{8}\right)$.

Таким образом, $\vec{n} = \left(\frac{5}{24}, -\frac{1}{3}, \frac{3}{8}\right)$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив координаты на 24 (наименьшее общее кратное знаменателей): $24\vec{n} = (5, -8, 9)$.

Уравнение плоскости $MON$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты вектора нормали. Получаем: $5x - 8y + 9z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты любой из точек, лежащих в плоскости, например, $M(0, 0, \frac{1}{3})$:

$5(0) - 8(0) + 9\left(\frac{1}{3}\right) + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$.

Итак, уравнение плоскости $MON$: $5x - 8y + 9z - 3 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B_1(1, 0, 1)$ до этой плоскости по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем координаты точки $B_1$ и коэффициенты уравнения плоскости:

$d = \frac{|5(1) - 8(0) + 9(1) - 3|}{\sqrt{5^2 + (-8)^2 + 9^2}} = \frac{|5 - 0 + 9 - 3|}{\sqrt{25 + 64 + 81}} = \frac{|11|}{\sqrt{170}} = \frac{11}{\sqrt{170}}$.

Ответ: $\frac{11}{\sqrt{170}}$ см.