Страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $A (1; -2; 1)$ и $B (4; 1; 3)$ параллельно оси $y$.

Для составления уравнения плоскости нам необходима точка, принадлежащая этой плоскости, и вектор нормали (перпендикулярный вектор) к ней. Общее уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(A, B, C)$ — координаты вектора нормали $\vec{n}$, а $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки, через которую проходит плоскость.

1. Нахождение векторов, параллельных плоскости.

Поскольку плоскость проходит через точки $A(1; -2; 1)$ и $B(4; 1; 3)$, то вектор $\vec{AB}$ лежит в этой плоскости (или параллелен ей). Найдем его координаты:$\vec{AB} = (4-1; 1-(-2); 3-1) = (3; 3; 2)$.

Плоскость также параллельна оси $y$. Направляющий вектор оси $y$ — это $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Следовательно, этот вектор также параллелен искомой плоскости.

2. Нахождение вектора нормали.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Мы можем найти $\vec{n}$ как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{j}$:$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{j} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 3 \cdot 0) = -2\vec{i} - 0\vec{j} + 3\vec{k}$Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$.

3. Составление уравнения плоскости.

Теперь, имея вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$ и точку на плоскости (возьмем, например, точку $A(1; -2; 1)$), подставим их в общее уравнение плоскости:$-2(x - 1) + 0(y - (-2)) + 3(z - 1) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:$-2x + 2 + 3z - 3 = 0$$-2x + 3z - 1 = 0$

Для удобства можно умножить всё уравнение на -1:$2x - 3z + 1 = 0$

Проверим, принадлежит ли точка $B(4; 1; 3)$ полученной плоскости:$2(4) - 3(3) + 1 = 8 - 9 + 1 = 0$. Равенство верное, значит точка $B$ лежит на плоскости.

Ответ: $2x - 3z + 1 = 0$

6.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки $C (-2; 0; 1)$ и $D (1; 5; 0)$ параллельно оси $x$.

Для составления уравнения плоскости необходимо знать точку, через которую она проходит, и вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости). Общее уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки на плоскости, а $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали.

1. Найдем два вектора, параллельных плоскости.

Так как плоскость проходит через точки $C(-2; 0; 1)$ и $D(1; 5; 0)$, то вектор $\vec{CD}$ лежит в этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{CD} = (1 - (-2); 5 - 0; 0 - 1) = (3; 5; -1)$.

По условию плоскость параллельна оси $x$. Это означает, что направляющий вектор оси $x$, которым является орт $\vec{i} = (1; 0; 0)$, параллелен искомой плоскости.

2. Найдем вектор нормали к плоскости.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости или параллельным ей. Таким образом, $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{CD}$ и $\vec{i}$. Мы можем найти $\vec{n}$ как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{i} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по третьей строке:

$\vec{n} = 1 \cdot \begin{vmatrix} \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{k} \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (\vec{j} \cdot (-1) - \vec{k} \cdot 5) = - \vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, координаты вектора нормали: $\vec{n} = (0; -1; -5)$.

3. Составим уравнение плоскости.

Используем координаты вектора нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (0; -1; -5)$ и координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $C(-2; 0; 1)$:

$A(x - x_C) + B(y - y_C) + C(z - z_C) = 0$

$0 \cdot (x - (-2)) + (-1) \cdot (y - 0) + (-5) \cdot (z - 1) = 0$

$0 - y - 5z + 5 = 0$

$-y - 5z + 5 = 0$

Для удобства умножим уравнение на $-1$:

$y + 5z - 5 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Для проверки можно подставить в полученное уравнение координаты точки $D(1; 5; 0)$:

$5 + 5 \cdot 0 - 5 = 5 - 5 = 0$. Равенство верно, значит, точка $D$ лежит в этой плоскости. Условие параллельности оси $x$ также выполняется, так как коэффициент при $x$ в уравнении равен нулю.

Ответ: $y + 5z - 5 = 0$.

6.17. Найдите расстояние от точки A (1; 2; -3) до плоскости

$x + 3y + 2z - 29 = 0$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашей задаче даны:

• Точка $A(1; 2; -3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -3$.
• Плоскость $x + 3y + 2z - 29 = 0$, следовательно, коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=3$, $C=2$, $D=-29$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления расстояния:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 29|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}}$

Сначала вычислим значение выражения в числителе (под знаком модуля):

$|1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 29| = |1 + 6 - 6 - 29| = |1 - 29| = |-28| = 28$

Теперь вычислим значение выражения в знаменателе (под корнем):

$\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

Таким образом, расстояние $d$ равно:

$d = \frac{28}{\sqrt{14}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$d = \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{28\sqrt{14}}{14} = 2\sqrt{14}$

Ответ: $2\sqrt{14}$.

6.18. Найдите расстояние от начала координат до плоскости $2x - y + 5z + 15 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данной задаче точкой является начало координат $O(0, 0, 0)$, поэтому $x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = 0$.

Уравнение плоскости: $2x - y + 5z + 15 = 0$.

Из этого уравнения находим коэффициенты: $A = 2$, $B = -1$, $C = 5$, $D = 15$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}}$

Выполняем вычисления:

$d = \frac{|0 + 0 + 0 + 15|}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{|15|}{\sqrt{30}} = \frac{15}{\sqrt{30}}$

Чтобы упростить результат, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{30}$:

$d = \frac{15 \cdot \sqrt{30}}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{30}} = \frac{15\sqrt{30}}{30}$

Сокращаем дробь на 15:

$d = \frac{\sqrt{30}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{2}$

6.19. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A $(1; 2; 3)$, B $(4; 1; 2)$ и C $(2; -1; 1)$.

Для того чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три точки, необходимо найти вектор нормали к этой плоскости. Вектор нормали можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

1. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, с общим началом в точке A. Пусть это будут векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат конца (B) и начала (A):
$\vec{AB} = (4-1; 1-2; 2-3) = (3; -1; -1)$

Координаты вектора $\vec{AC}$ находятся как разность координат конца (C) и начала (A):
$\vec{AC} = (2-1; -1-2; 1-3) = (1; -3; -2)$

2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен обоим векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Найдем его через векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = $ $
= \vec{i}((-1) \cdot (-2) - (-1) \cdot (-3)) - \vec{j}(3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot (-3) - (-1) \cdot 1) = $ $
= \vec{i}(2 - 3) - \vec{j}(-6 + 1) + \vec{k}(-9 + 1) = -1\vec{i} + 5\vec{j} - 8\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}$ имеет координаты $(-1; 5; -8)$.

3. Теперь, имея вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C) = (-1; 5; -8)$ и точку, через которую проходит плоскость (например, точку $A(1; 2; 3)$), можно составить уравнение плоскости по формуле:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим значения:

$-1(x - 1) + 5(y - 2) - 8(z - 3) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x + 1 + 5y - 10 - 8z + 24 = 0$

$-x + 5y - 8z + 15 = 0$

Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, умножим все уравнение на -1:

$x - 5y + 8z - 15 = 0$

Ответ: $x - 5y + 8z - 15 = 0$

6.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно $4 \text{ см}$. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AD$ и $BB_1$ соответственно. На ребре $CD$ отметили точку $E$, а на его продолжении за точку $D$ — точку $F$ так, что $DE = 1 \text{ см}$, а точка $D$ — середина отрезка $CF$. Докажите, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DA$, ось $y$ вдоль ребра $DC$ и ось $z$ вдоль ребра $DD_1$. Ребро куба равно 4 см.

Найдем координаты вершин и точек.

В данной системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$D(0, 0, 0)$
$A(4, 0, 0)$
$C(0, 4, 0)$
$D_1(0, 0, 4)$

Найдем координаты точек $M, K, E, F$:
- Точка $M$ — середина ребра $AD$. Ее координаты: $M\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2; 0; 0)$.
- Чтобы найти координаты точки $K$, сначала найдем координаты вершин $B$ и $B_1$. $B(4; 4; 0)$, $B_1(4; 4; 4)$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Ее координаты: $K\left(\frac{4+4}{2}; \frac{4+4}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = K(4; 4; 2)$.
- Точка $E$ лежит на ребре $CD$ (оси $y$) так, что $DE = 1$ см. Ее координаты: $E(0; 1; 0)$.
- Точка $D$ — середина отрезка $CF$. Координаты $C(0; 4; 0)$ и $D(0; 0; 0)$. Пусть $F(x_F; y_F; z_F)$. Тогда $x_D = \frac{x_C+x_F}{2}$, $y_D = \frac{y_C+y_F}{2}$, $z_D = \frac{z_C+z_F}{2}$.
$0 = \frac{0+x_F}{2} \Rightarrow x_F=0$
$0 = \frac{4+y_F}{2} \Rightarrow y_F=-4$
$0 = \frac{0+z_F}{2} \Rightarrow z_F=0$
Следовательно, координаты точки $F(0; -4; 0)$.

Найдем координаты векторов.

Чтобы доказать, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$, нужно доказать, что вектор $\vec{KF}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости, например, векторам $\vec{ME}$ и $\vec{MD_1}$.
Найдем координаты этих векторов:
$\vec{KF} = \{0-4; -4-4; 0-2\} = \{-4; -8; -2\}$
$\vec{ME} = \{0-2; 1-0; 0-0\} = \{-2; 1; 0\}$
$\vec{MD_1} = \{0-2; 0-0; 4-0\} = \{-2; 0; 4\}$

Проверим перпендикулярность векторов.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Найдем скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{ME}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{ME} = (-4) \cdot (-2) + (-8) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 8 - 8 + 0 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{KF} \perp \vec{ME}$, а значит $KF \perp ME$.

Найдем скалярное произведение $\vec{KF}$ и $\vec{MD_1}$:
$\vec{KF} \cdot \vec{MD_1} = (-4) \cdot (-2) + (-8) \cdot 0 + (-2) \cdot 4 = 8 + 0 - 8 = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, то $\vec{KF} \perp \vec{MD_1}$, а значит $KF \perp MD_1$.

Поскольку прямая $KF$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ME$ и $MD_1$) в плоскости $MD_1E$, то прямая $KF$ перпендикулярна самой плоскости $MD_1E$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $KF$ перпендикулярна плоскости $MD_1E$.

6.21. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что прямая $A_1 C$ перпендикулярна плоскости $AB_1 D_1$.

Для того чтобы доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$, необходимо и достаточно доказать, что прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $AB_1$ и $AD_1$, которые пересекаются в точке $A$.

Воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$
$C(a, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
$B_1(a, 0, a)$
$D_1(0, a, a)$

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих нашим прямым: $\vec{A_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.
$\vec{A_1C} = \{a-0; a-0; 0-a\} = \{a; a; -a\}$
$\vec{AB_1} = \{a-0; 0-0; a-0\} = \{a; 0; a\}$
$\vec{AD_1} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю. Проверим это условие для пар прямых $(A_1C, AB_1)$ и $(A_1C, AD_1)$.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AB_1} = (a)(a) + (a)(0) + (-a)(a) = a^2 + 0 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, следовательно, прямые $A_1C$ и $AB_1$ перпендикулярны: $A_1C \perp AB_1$.

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{AD_1}$:
$\vec{A_1C} \cdot \vec{AD_1} = (a)(0) + (a)(a) + (-a)(a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, следовательно, прямые $A_1C$ и $AD_1$ перпендикулярны: $A_1C \perp AD_1$.

Так как прямая $A_1C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $AD_1$, лежащим в плоскости $AB_1D_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.22. Рёбра $AD$, $AB$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 3 см, 6 см и 12 см. Точка $M$ принадлежит отрезку $CA_1$ и делит его в отношении $1:2$, считая от точки $C$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ перпендикулярно прямой $CA_1$, пересекает прямую $AA_1$ в точке $K$. Найдите отрезок $AK$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

В этой системе координат, согласно условию ($AD=3$ см, $AB=6$ см, $AA_1=12$ см), вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(6, 0, 0)$
• $D(0, 3, 0)$
• $C(6, 3, 0)$
• $A_1(0, 0, 12)$

Точка $M$ принадлежит отрезку $CA_1$ и делит его в отношении $CM : MA_1 = 1 : 2$. Найдем координаты точки $M$ по формуле деления отрезка в заданном отношении:

$x_M = \frac{2 \cdot x_C + 1 \cdot x_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 0}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$y_M = \frac{2 \cdot y_C + 1 \cdot y_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$z_M = \frac{2 \cdot z_C + 1 \cdot z_{A_1}}{1+2} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M(4, 2, 4)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $CA_1$. Это означает, что вектор $\vec{CA_1}$ является вектором нормали к плоскости $\alpha$. Найдем координаты этого вектора:

$\vec{CA_1} = (x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C) = (0 - 6; 0 - 3; 12 - 0) = (-6, -3, 12)$.

Уравнение плоскости с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. Подставим координаты вектора $\vec{CA_1}$ и точки $M$:

$-6(x - 4) - 3(y - 2) + 12(z - 4) = 0$.

Разделим обе части уравнения на $-3$ для упрощения:

$2(x - 4) + (y - 2) - 4(z - 4) = 0$

$2x - 8 + y - 2 - 4z + 16 = 0$

$2x + y - 4z + 6 = 0$

Это и есть уравнение плоскости $\alpha$.

Точка $K$ — это точка пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $AA_1$. Прямая $AA_1$ совпадает с осью $Oz$, поэтому любая точка на ней имеет координаты $(0, 0, z)$. Следовательно, координаты точки $K$ равны $(0, 0, z_K)$.

Чтобы найти $z_K$, подставим координаты точки $K$ в уравнение плоскости $\alpha$:

$2 \cdot 0 + 0 - 4z_K + 6 = 0$

$-4z_K = -6$

$z_K = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

Координаты точки $K$ равны $(0, 0, 1.5)$.

Длина отрезка $AK$ — это расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $K(0, 0, 1.5)$.

$AK = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{1.5^2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.

6.23. Основанием пирамиды $MABCD$ является квадрат $ABCD$, сторона которого равна 8 см. Ребро $MD$ перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка $K$ принадлежит ребру $MB$ и делит его в отношении 3 : 1, считая от точки $M$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $K$ перпендикулярно прямой $MB$, пересекает прямую $BC$ в точке $F$. Найдите отрезок $BF$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DM$.

В этой системе координат вершины пирамиды и основания будут иметь следующие координаты:

• $D(0; 0; 0)$
• $A(8; 0; 0)$ (так как $DA = 8$ см)
• $C(0; 8; 0)$ (так как $DC = 8$ см)
• $B(8; 8; 0)$ (так как $ABCD$ - квадрат)
• $M(0; 0; 4)$ (так как $MD = 4$ см и $MD$ перпендикулярно плоскости основания)

Точка $K$ принадлежит ребру $MB$ и делит его в отношении $3 : 1$, считая от точки $M$. Это означает, что $MK : KB = 3 : 1$. Найдем координаты точки $K$, используя формулу деления отрезка в данном отношении для радиус-векторов:

$\vec{OK} = \frac{1 \cdot \vec{OM} + 3 \cdot \vec{OB}}{1+3} = \frac{1}{4}(\vec{OM} + 3\vec{OB})$

Подставим координаты точек $M(0; 0; 4)$ и $B(8; 8; 0)$:

$x_K = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$y_K = \frac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$z_K = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 0}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, координаты точки $K(6; 6; 1)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ перпендикулярно прямой $MB$. Следовательно, вектор $\vec{MB}$ является вектором нормали к плоскости $\alpha$.

Найдем координаты вектора $\vec{MB}$:

$\vec{MB} = \{x_B - x_M; y_B - y_M; z_B - z_M\} = \{8 - 0; 8 - 0; 0 - 4\} = \{8; 8; -4\}$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 4: $\vec{n} = \{2; 2; -1\}$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A$, $B$, $C$ - координаты вектора нормали. Подставив координаты $\vec{n}$, получаем:

$2x + 2y - z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $K(6; 6; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим их, чтобы найти $D$:

$2 \cdot 6 + 2 \cdot 6 - 1 + D = 0$

$12 + 12 - 1 + D = 0$

$23 + D = 0 \implies D = -23$.

Итак, уравнение плоскости $\alpha$: $2x + 2y - z - 23 = 0$.

Точка $F$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $BC$. Найдем параметрическое уравнение прямой $BC$. Прямая проходит через точки $B(8; 8; 0)$ и $C(0; 8; 0)$.

Направляющий вектор прямой $BC$: $\vec{BC} = \{0 - 8; 8 - 8; 0 - 0\} = \{-8; 0; 0\}$.

Параметрическое уравнение прямой $BC$ (используя точку $B$ в качестве начальной):

$ \begin{cases} x = 8 - 8t \\ y = 8 \\ z = 0 \end{cases} $

Координаты точки $F$ должны удовлетворять как уравнению прямой, так и уравнению плоскости. Подставим параметрические выражения для координат в уравнение плоскости $\alpha$:

$2(8 - 8t) + 2(8) - 0 - 23 = 0$

$16 - 16t + 16 - 23 = 0$

$32 - 23 - 16t = 0$

$9 - 16t = 0 \implies t = \frac{9}{16}$.

Теперь найдем координаты точки $F$, подставив найденное значение $t$ в параметрические уравнения прямой:

$x_F = 8 - 8 \cdot \frac{9}{16} = 8 - \frac{9}{2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

$y_F = 8$

$z_F = 0$

Координаты точки $F(3.5; 8; 0)$.

Наконец, найдем длину отрезка $BF$, зная координаты точек $B(8; 8; 0)$ и $F(3.5; 8; 0)$:

$BF = \sqrt{(x_B - x_F)^2 + (y_B - y_F)^2 + (z_B - z_F)^2} = \sqrt{(8 - 3.5)^2 + (8 - 8)^2 + (0 - 0)^2}$

$BF = \sqrt{4.5^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4.5^2} = 4.5$ см.

Ответ: 4,5 см.

6.24. В тетраэдре $SABC$ ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Известно, что $AC = CB = a$, $AS = AB = a\sqrt{2}$. Через середину ребра $AC$ проведена плоскость перпендикулярно прямой $SB$. В каком отношении, считая от точки $C$, проведённая плоскость делит ребро $SC$?

Решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Так как по условию ребро $SA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а в треугольнике $ABC$ стороны $AC=a$, $CB=a$ и $AB=a\sqrt{2}$, то выполняется теорема Пифагора: $AC^2 + CB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = (a\sqrt{2})^2 = AB^2$. Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Разместим начало координат в точке $C(0, 0, 0)$. Ось $Cx$ направим вдоль ребра $CA$, ось $Cy$ — вдоль ребра $CB$, а ось $Cz$ — параллельно ребру $SA$.

В этой системе координат вершины тетраэдра будут иметь следующие координаты:

• $C = (0, 0, 0)$
• $A = (a, 0, 0)$ (так как $AC=a$ и лежит на оси $Cx$)
• $B = (0, a, 0)$ (так как $CB=a$ и лежит на оси $Cy$)

• $S = (a, 0, a\sqrt{2})$

Пусть $\alpha$ — плоскость, проведенная через середину ребра $AC$ перпендикулярно прямой $SB$. Обозначим середину ребра $AC$ как точку $M$. Координаты точки $M$: $M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$.

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $SB$, то вектор $\vec{SB}$ является нормальным вектором (вектором нормали) к этой плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{SB}$: $\vec{SB} = B - S = (0-a, a-0, 0-a\sqrt{2}) = (-a, a, -a\sqrt{2})$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $n_x(x-x_0) + n_y(y-y_0) + n_z(z-z_0) = 0$, где $(n_x, n_y, n_z)$ — координаты нормального вектора, а $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки, принадлежащей плоскости. Используем вектор $\vec{SB}$ в качестве нормального вектора и точку $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$: $-a\left(x - \frac{a}{2}\right) + a(y - 0) - a\sqrt{2}(z - 0) = 0$.

Разделим обе части уравнения на $-a$ (поскольку $a \ne 0$): $\left(x - \frac{a}{2}\right) - y + \sqrt{2}z = 0$ $x - y + \sqrt{2}z = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем точку $K$, в которой эта плоскость пересекает ребро $SC$. Для этого составим параметрическое уравнение прямой $SC$. Вектор направления прямой $SC$ — это вектор $\vec{SC}$: $\vec{SC} = C - S = (0-a, 0-0, 0-a\sqrt{2}) = (-a, 0, -a\sqrt{2})$. Однако удобнее использовать вектор $\vec{CS} = (a, 0, a\sqrt{2})$. Уравнение прямой $SC$, проходящей через точку $C(0,0,0)$: $K(t) = C + t \cdot \vec{CS} = (0,0,0) + t(a, 0, a\sqrt{2}) = (at, 0, at\sqrt{2})$. Здесь параметр $t$ изменяется от $0$ (точка $C$) до $1$ (точка $S$).

Чтобы найти точку пересечения $K$, подставим ее координаты из параметрического уравнения в уравнение плоскости $\alpha$: $(at) - (0) + \sqrt{2}(at\sqrt{2}) = \frac{a}{2}$ $at + 2at = \frac{a}{2}$ $3at = \frac{a}{2}$ $t = \frac{a/2}{3a} = \frac{1}{6}$.

Значение параметра $t = \frac{1}{6}$ показывает, что точка $K$ делит отрезок $SC$ в отношении, где длина отрезка $CK$ составляет $\frac{1}{6}$ от длины всего отрезка $SC$. То есть, $CK = \frac{1}{6} SC$. Оставшаяся часть отрезка, $KS$, будет равна: $KS = SC - CK = SC - \frac{1}{6}SC = \frac{5}{6}SC$.

Требуемое отношение, считая от точки $C$, равно: $\frac{CK}{KS} = \frac{\frac{1}{6}SC}{\frac{5}{6}SC} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $1:5$.

6.25. Основанием прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, сторона которого равна 1 см. Известно, что $\angle BAC = 60^\circ$, $AA_1 = 4$ см. Точка $M$ принадлежит отрезку $AC_1$ и делит его в отношении $1 : 2$, считая от точки $A$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$ перпендикулярно прямой $AC_1$, пересекает прямую $BB_1$ в точке $P$. Найдите отрезок $BP$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$, а оси $Ox$ и $Oy$ расположим в плоскости основания $ABCD$.

1. Определение свойств основания и координат вершин.

Основание $ABCD$ — ромб со стороной 1 см. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 1$ см. По условию $\angle BAC = 60^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то $\angle BCA = \angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, третий угол $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Таким образом, $\triangle ABC$ является равносторонним, и все его стороны равны 1 см, включая диагональ ромба $AC$.

Теперь найдем координаты вершин:

• Точка $A$ — начало координат: $A(0, 0, 0)$.
• Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AC$. Так как $AC=1$, то $C(1, 0, 0)$.
• Точка $B$ находится в плоскости $Oxy$ на расстоянии 1 от $A$ и 1 от $C$. Координаты точки $B(x, y, 0)$ должны удовлетворять системе уравнений:
  $x^2 + y^2 = 1^2$ (расстояние $AB=1$)
  $(x-1)^2 + y^2 = 1^2$ (расстояние $CB=1$)
  Из второго уравнения: $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$. Подставляя $x^2 + y^2 = 1$ из первого уравнения, получаем: $1 - 2x + 1 = 1$, откуда $2x=1$ и $x = 1/2$.
  Тогда $y^2 = 1 - x^2 = 1 - (1/2)^2 = 3/4$, откуда $y = \sqrt{3}/2$ (выбираем положительное значение).
  Итак, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Так как параллелепипед прямой и $AA_1 = 4$ см, то $A_1(0, 0, 4)$ и $C_1(1, 0, 4)$.

2. Нахождение координат точки M.

Точка $M$ делит отрезок $AC_1$ в отношении $AM : MC_1 = 1:2$. Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$:
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 0-0, 4-0) = (1, 0, 4)$.
Координаты точки $M$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:
$\vec{AM} = \frac{1}{1+2} \vec{AC_1} = \frac{1}{3} \vec{AC_1} = (\frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3})$.
Таким образом, $M(\frac{1}{3}, 0, \frac{4}{3})$.

3. Составление уравнения плоскости $\alpha$.

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и перпендикулярна прямой $AC_1$. Это означает, что вектор $\vec{AC_1}=(1, 0, 4)$ является нормальным вектором (вектором нормали) к плоскости $\alpha$.
Уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n}=(a, b, c)$ и проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид:
$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
Подставляем координаты $M$ и вектора $\vec{AC_1}$:
$1 \cdot (x - \frac{1}{3}) + 0 \cdot (y - 0) + 4 \cdot (z - \frac{4}{3}) = 0$.
$x - \frac{1}{3} + 4z - \frac{16}{3} = 0$.
$x + 4z - \frac{17}{3} = 0$.
Или, умножив на 3: $3x + 12z - 17 = 0$.

4. Нахождение точки P и длины отрезка BP.

Точка $P$ является точкой пересечения плоскости $\alpha$ и прямой $BB_1$.
Координаты точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Ребро $BB_1$ параллельно оси $Oz$. Следовательно, любая точка на прямой $BB_1$, включая точку $P$, будет иметь координаты $x = 1/2$ и $y = \sqrt{3}/2$. Обозначим координаты точки $P$ как $(1/2, \sqrt{3}/2, z_P)$.
Поскольку точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$, ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости $3x + 12z - 17 = 0$:
$3 \cdot (\frac{1}{2}) + 12 \cdot z_P - 17 = 0$.
$\frac{3}{2} + 12z_P - 17 = 0$.
$12z_P = 17 - \frac{3}{2} = \frac{34-3}{2} = \frac{31}{2}$.
$z_P = \frac{31}{2 \cdot 12} = \frac{31}{24}$.
Итак, координаты точки $P(1/2, \sqrt{3}/2, 31/24)$.
Точка $B$ имеет координаты $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Отрезок $BP$ параллелен оси $Oz$, поэтому его длина равна разности аппликат (координат $z$) точек $P$ и $B$:
$BP = |z_P - z_B| = |\frac{31}{24} - 0| = \frac{31}{24}$ см.

Ответ: $BP = \frac{31}{24}$ см.