Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.52. Рёбра $AB$ и $CD$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. На ребре $AB$ отметили точки $M$ и $N$, а на ребре $CD$ — точки $P$ и $K$ так, что $AM = NB = CP = KD = 1$ см. Найдите расстояние между серединами отрезков $MP$ и $NK$.

Для решения данной задачи наиболее удобен векторный метод. Пусть $E$ — середина отрезка $MP$, а $F$ — середина отрезка $NK$. Нам необходимо найти длину отрезка $EF$, то есть модуль вектора $\vec{EF}$.

Выразим радиус-векторы точек $E$ и $F$ через радиус-векторы концов соответствующих отрезков, выбрав произвольное начало координат $O$: $\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{OP})$ $\vec{OF} = \frac{1}{2}(\vec{ON} + \vec{OK})$

Теперь найдем вектор $\vec{EF}$: $\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{ON} + \vec{OK}) - \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{OP})$ Сгруппируем слагаемые: $\vec{EF} = \frac{1}{2}[(\vec{ON} - \vec{OM}) + (\vec{OK} - \vec{OP})]$ Так как разность радиус-векторов есть вектор, соединяющий их концы, то: $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN}$ $\vec{OK} - \vec{OP} = \vec{PK}$ Таким образом, получаем: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{MN} + \vec{PK})$

Длина отрезка $EF$ равна модулю вектора $\vec{EF}$. Найдем квадрат длины: $|\vec{EF}|^2 = \vec{EF} \cdot \vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{MN} + \vec{PK}) \cdot (\vec{MN} + \vec{PK})$ Раскрывая скалярное произведение, получаем: $|\vec{EF}|^2 = \frac{1}{4}(|\vec{MN}|^2 + 2 \cdot \vec{MN} \cdot \vec{PK} + |\vec{PK}|^2)$

Теперь определим значения величин в этой формуле. Точки $M$ и $N$ лежат на ребре $AB$. По условию $AB=3$ см, $AM=1$ см, $NB=1$ см. Тогда длина отрезка $MN$ равна: $MN = AB - AM - NB = 3 - 1 - 1 = 1$ см. Значит, $|\vec{MN}| = 1$.

Точки $P$ и $K$ лежат на ребре $CD$. По условию $CD=3$ см, $CP=1$ см, $KD=1$ см. Тогда длина отрезка $PK$ равна: $PK = CD - CP - KD = 3 - 1 - 1 = 1$ см. Значит, $|\vec{PK}| = 1$.

По условию задачи рёбра $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Вектор $\vec{MN}$ направлен вдоль прямой $AB$, а вектор $\vec{PK}$ — вдоль прямой $CD$. Следовательно, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ также перпендикулярны. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{MN} \cdot \vec{PK} = 0$.

Подставим найденные значения в формулу для квадрата длины $EF$: $|\vec{EF}|^2 = \frac{1}{4}(1^2 + 2 \cdot 0 + 1^2) = \frac{1}{4}(1 + 0 + 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим искомую длину отрезка $EF$: $EF = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

5.53. Плоские углы AOB, BOC и COA трёхгранного угла OABC соответственно равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть вершина трёхгранного угла $O$ находится в начале координат. Направим вдоль рёбер $OA, OB$ и $OC$ единичные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно. По определению, их длины (модули) равны единице:

$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$

Плоские углы $\alpha, \beta, \gamma$ являются углами между соответствующими парами этих векторов:

• $\angle AOB = \alpha$ - угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$
• $\angle BOC = \beta$ - угол между $\vec{b}$ и $\vec{c}$
• $\angle COA = \gamma$ - угол между $\vec{c}$ и $\vec{a}$

Используя определение скалярного произведения, мы можем выразить косинусы этих углов через скалярные произведения векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \beta = \cos \beta$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \gamma = \cos \gamma$

Рассмотрим сумму векторов $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Квадрат длины любого вектора является неотрицательной величиной, то есть $|\vec{s}|^2 \ge 0$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, поэтому:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 \ge 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ единичные, их скалярные квадраты равны 1:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$

$\vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 = 1$

Подставим эти значения и выражения для косинусов в неравенство:

$1 + 1 + 1 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge 0$

Упростим полученное выражение:

$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge 0$

Теперь выразим сумму косинусов:

$2(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) \ge -3$

$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \ge -\frac{3}{2}$ доказано.

5.54. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а радиус вписанной в неё окружности равен 4 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции (S) вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

Так как в трапецию вписана окружность, её высота $h$ равна диаметру этой окружности. По условию, радиус вписанной окружности $r = 4$ см. Следовательно, высота трапеции равна:
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Для любого описанного четырёхугольника (в который можно вписать окружность) суммы длин противоположных сторон равны. В случае равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований ($a+b$) равна сумме боковых сторон. Боковая сторона по условию равна 10 см. Тогда:
$a + b = 10 + 10 = 20$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, подставив найденные значения в формулу:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Ответ: 80 см².

5.55. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника соответственно равны 6 см и 8 см. Найдите площадь данного четырёхугольника.

Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно.

Четырёхугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Его стороны являются средними линиями соответствующих треугольников:

В треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.
В треугольнике ADC отрезок PQ — средняя линия, следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC$.
В треугольнике BCD отрезок NP — средняя линия, следовательно, $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2} BD$.
В треугольнике ABD отрезок MQ — средняя линия, следовательно, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2} BD$.

Подставим известные длины диагоналей $AC = 6$ см и $BD = 8$ см:
$MN = PQ = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
$NP = MQ = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника ABCD, — это MP и NQ. Эти отрезки являются диагоналями параллелограмма MNPQ. По условию задачи, эти отрезки равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, MNPQ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника MNPQ равна произведению его смежных сторон:
$S_{MNPQ} = MN \cdot NP = 3 \cdot 4 = 12$ см².

Площадь четырёхугольника Вариньона (в данном случае MNPQ) равна половине площади исходного четырёхугольника ABCD.
$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$
Отсюда, $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{MNPQ}$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot 12 = 24$ см².

Примечание: Так как параллелограмм MNPQ является прямоугольником, его стороны перпендикулярны. Поскольку стороны MNPQ параллельны диагоналям AC и BD, то и диагонали исходного четырёхугольника AC и BD перпендикулярны. Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения их длин: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Ответ: 24 см².