Страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Чему равен угол между двумя противоположно направленными векторами?

2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами?

3. В каких пределах находится угол между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

4. Какие векторы называют перпендикулярными?

5. Что называют скалярным произведением двух векторов?

6. Чему равен скалярный квадрат вектора?

7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.

8. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты?

9. Запишите свойства скалярного произведения векторов.

1. Чему равен угол между двумя противоположно направленными векторами? Если два вектора отложить от одной точки, и они будут направлены в противоположные стороны, то они образуют развернутый угол, величина которого составляет 180 градусов. Ответ: 180°.

2. Чему равен угол между двумя сонаправленными векторами? Если два вектора отложить от одной точки, и они будут направлены в одну сторону, то они будут лежать на одном луче. Угол между ними считается нулевым. Ответ: 0°.

3. В каких пределах находится угол между любыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$? Угол $\alpha$ между любыми двумя векторами по определению не может быть меньше 0° (случай сонаправленных векторов) и больше 180° (случай противоположно направленных векторов). Таким образом, угол находится в пределах $0° \le \alpha \le 180°$. Ответ: От 0° до 180° включительно.

4. Какие векторы называют перпендикулярными? Два ненулевых вектора называют перпендикулярными (или ортогональными), если угол между ними составляет 90°. Ответ: Векторы, угол между которыми равен 90°.

5. Что называют скалярным произведением двух векторов? Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними. Это выражается формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$. Если хотя бы один из векторов является нулевым, их скалярное произведение по определению равно нулю. Ответ: Произведение длин векторов на косинус угла между ними.

6. Чему равен скалярный квадрат вектора? Скалярный квадрат вектора — это скалярное произведение вектора на самого себя: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$. Угол между вектором и им самим равен 0°, а косинус 0° равен 1. Поэтому $\vec{a}^2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cos 0° = |\vec{a}|^2$. Ответ: Квадрату длины (модуля) этого вектора.

7. Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Это следует из определения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha = 0$. Так как векторы ненулевые, то $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$, следовательно, равенство возможно только при $\cos \alpha = 0$, что означает $\alpha = 90°$. Ответ: Их скалярное произведение равно нулю.

8. Как найти скалярное произведение векторов, если известны их координаты? Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат. Для векторов на плоскости $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ формула имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. Для векторов в пространстве $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Ответ: Сложить произведения соответствующих координат векторов.

9. Запишите свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и любого числа $k$ справедливы следующие свойства:
1) Переместительное (коммутативное): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
2) Сочетательное (ассоциативное) относительно скалярного множителя: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
3) Распределительное (дистрибутивное): $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.
4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины и неотрицателен: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \geq 0$.
Ответ: Основные свойства: коммутативность, ассоциативность по отношению к скалярному множителю, дистрибутивность и свойство скалярного квадрата.