Страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.47. Точки $M, N$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BD, CD$ и $AB$ тетраэдра $DABC$. На прямых $BN$ и $CK$ отмечены соответственно точки $F$ и $E$ так, что $FE \parallel AM$. Найдите отношение $\frac{FE}{AM}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем систему векторов с началом в точке $D$. Обозначим $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$.

По условию, точки $M$, $N$ и $K$ — середины рёбер $BD$, $CD$ и $AB$ соответственно. Выразим радиус-векторы этих точек и вектор $\vec{AM}$:

Радиус-вектор точки $M$: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
Радиус-вектор точки $N$: $\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
Радиус-вектор точки $K$: $\vec{DK} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DB}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
Вектор $\vec{AM} = \vec{DM} - \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

Точка $F$ лежит на прямой $BN$. Это значит, что ее радиус-вектор $\vec{DF}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DN}$:
$\vec{DF} = (1-t)\vec{DB} + t\vec{DN} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{c}) = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$ для некоторого скаляра $t$.

Точка $E$ лежит на прямой $CK$. Это значит, что ее радиус-вектор $\vec{DE}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DK}$:
$\vec{DE} = (1-s)\vec{DC} + s\vec{DK} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})) = \frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + (1-s)\vec{c}$ для некоторого скаляра $s$.

Теперь выразим вектор $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \vec{DE} - \vec{DF} = (\frac{s}{2}\vec{a} + \frac{s}{2}\vec{b} + (1-s)\vec{c}) - ((1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}) = \frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{s}{2} - 1 + t)\vec{b} + (1 - s - \frac{t}{2})\vec{c}$.

По условию задачи, прямая $FE$ параллельна прямой $AM$, следовательно, вектор $\vec{FE}$ коллинеарен вектору $\vec{AM}$. Это означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{FE} = \lambda \vec{AM}$.
$\frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{s}{2} - 1 + t)\vec{b} + (1 - s - \frac{t}{2})\vec{c} = \lambda (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) = -\lambda\vec{a} + \frac{\lambda}{2}\vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не компланарны (так как $DABC$ — тетраэдр), мы можем приравнять коэффициенты при этих векторах в левой и правой частях равенства. Получим систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{s}{2} = -\lambda \\ \frac{s}{2} - 1 + t = \frac{\lambda}{2} \\ 1 - s - \frac{t}{2} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения: $s = -2\lambda$.
Подставим $s$ в третье уравнение: $1 - (-2\lambda) - \frac{t}{2} = 0 \Rightarrow 1 + 2\lambda = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2 + 4\lambda$.
Подставим $s$ и $t$ во второе уравнение:
$\frac{-2\lambda}{2} - 1 + (2 + 4\lambda) = \frac{\lambda}{2}$
$-\lambda - 1 + 2 + 4\lambda = \frac{\lambda}{2}$
$3\lambda + 1 = \frac{\lambda}{2}$
$3\lambda - \frac{\lambda}{2} = -1$
$\frac{6\lambda - \lambda}{2} = -1$
$\frac{5\lambda}{2} = -1$
$\lambda = -\frac{2}{5}$

Искомое отношение $\frac{FE}{AM}$ равно модулю коэффициента коллинеарности $\lambda$.
$\frac{FE}{AM} = |\lambda| = |-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

4.48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. На отрезках $AB_1$ и $BC_1$ соответственно отметили точки $P$ и $K$ так, что прямые $PK$ и $A_1 C$ параллельны. Найдите отношение $\frac{PK}{A_1 C}$.

Для решения этой задачи наиболее удобен векторный метод. Введем базисные векторы, отложенные от одной вершины параллелепипеда, например, от вершины $A$:

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{a}$.

Эти три вектора некомпланарны.

Теперь выразим радиус-векторы интересующих нас точек относительно начала в точке $A$:

• $\vec{A_1} = \vec{a}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$
• $\vec{B_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{a}$
• $\vec{C_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{b} + \vec{d}) + \vec{a}$

Точка $P$ лежит на отрезке $AB_1$. Это означает, что вектор $\vec{AP}$ коллинеарен вектору $\vec{AB_1}$, то есть существует такое число $t \in [0, 1]$, что:

$\vec{AP} = t \cdot \vec{AB_1} = t(\vec{a} + \vec{b})$.

Точка $K$ лежит на отрезке $BC_1$. Это означает, что вектор $\vec{BK}$ коллинеарен вектору $\vec{BC_1}$, то есть существует такое число $s \in [0, 1]$, что $\vec{BK} = s \cdot \vec{BC_1}$. Выразим радиус-вектор точки $K$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{b} + s \cdot \vec{BC_1}$

Найдем вектор $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{d}$.

Тогда радиус-вектор точки $K$ равен:

$\vec{AK} = \vec{b} + s(\vec{a} + \vec{d})$.

Теперь составим выражения для векторов $\vec{PK}$ и $\vec{A_1C}$:

$\vec{PK} = \vec{AK} - \vec{AP} = (\vec{b} + s(\vec{a} + \vec{d})) - t(\vec{a} + \vec{b}) = s\vec{a} + \vec{b} + s\vec{d} - t\vec{a} - t\vec{b} = (s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d}$.

$\vec{A_1C} = \vec{AC} - \vec{AA_1} = (\vec{b} + \vec{d}) - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}$.

По условию задачи прямые $PK$ и $A_1C$ параллельны. Следовательно, их направляющие векторы $\vec{PK}$ и $\vec{A_1C}$ коллинеарны. Это значит, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{PK} = \lambda \cdot \vec{A_1C}$:

$(s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d} = \lambda(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{d})$

$(s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d} = -\lambda\vec{a} + \lambda\vec{b} + \lambda\vec{d}$

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ образуют базис, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} s-t = -\lambda \\ 1-t = \lambda \\ s = \lambda \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Из третьего уравнения имеем $s = \lambda$. Подставим это во второе уравнение, предварительно выразив из него $t$:

$t = 1 - \lambda$.

Теперь подставим выражения для $s$ и $t$ в первое уравнение:

$\lambda - (1 - \lambda) = -\lambda$

$\lambda - 1 + \lambda = -\lambda$

$2\lambda - 1 = -\lambda$

$3\lambda = 1$

$\lambda = \frac{1}{3}$

Отношение длин параллельных отрезков $\frac{PK}{A_1C}$ равно модулю коэффициента $\lambda$.

$\frac{PK}{A_1C} = |\lambda| = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4.49. Основание равнобедренного треугольника равно 48 см, а его площадь — 432 см². Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ используется формула $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Площадь треугольника нам дана: $S = 432$ см². Основание равнобедренного треугольника, обозначим его $a$, равно $a = 48$ см. Нам необходимо найти длины боковых сторон, чтобы вычислить полупериметр.

1. Найдем высоту треугольника. Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $h$ – высота, проведенная к основанию $a$. Выразим из этой формулы высоту: $h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 432}{48} = \frac{864}{48} = 18$ см.

2. Найдем длину боковой стороны. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см. Эта высота, боковая сторона (обозначим ее $b$) и половина основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $b$: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$ $b^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900$ $b = \sqrt{900} = 30$ см.

3. Найдем полупериметр и радиус вписанной окружности. Теперь, зная длины всех сторон треугольника ($48$ см, $30$ см, $30$ см), можем вычислить его полупериметр $p$: $p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{48 + 30 + 30}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см.

Наконец, подставляем значения площади и полупериметра в формулу для радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{432}{54} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

4.50. Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c=3$ см и $d=5$ см.

По условию в трапецию можно вписать окружность. Свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = c + d$

Подставим известные значения боковых сторон:

$a + b = 3 + 5 = 8$ см.

Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме оснований:

$m = \frac{a + b}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции. Пусть высота исходной трапеции равна $h$. Тогда высота каждой из двух меньших трапеций будет равна $\frac{h}{2}$.

Основаниями одной из этих трапеций являются $b$ и $m$, а другой — $m$ и $a$. Пусть $a > b$. Тогда площадь первой трапеции (верхней) $S_1$, а второй (нижней) $S_2$.

$S_1 = \frac{b + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$

$S_2 = \frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$

По условию, отношение площадей этих частей равно $5:11$. Так как $a > b$, то $S_2 > S_1$, следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{11}$.

$\frac{\frac{b + m}{2} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}} = \frac{b + m}{a + m} = \frac{5}{11}$

Подставим значение средней линии $m=4$:

$\frac{b + 4}{a + 4} = \frac{5}{11}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 8 \\ \frac{b + 4}{a + 4} = \frac{5}{11} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$:

$b = 8 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{(8 - a) + 4}{a + 4} = \frac{5}{11}$

$\frac{12 - a}{a + 4} = \frac{5}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$11(12 - a) = 5(a + 4)$

$132 - 11a = 5a + 20$

$132 - 20 = 5a + 11a$

$112 = 16a$

$a = \frac{112}{16} = 7$ см.

Теперь найдем второе основание $b$:

$b = 8 - a = 8 - 7 = 1$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 1 см и 7 см.

Ответ: 1 см и 7 см.