Номер 4.50, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.50. Длины боковых сторон трапеции равны 3 см и 5 см. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c=3$ см и $d=5$ см.

По условию в трапецию можно вписать окружность. Свойство описанного четырехугольника гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a + b = c + d$

Подставим известные значения боковых сторон:

$a + b = 3 + 5 = 8$ см.

Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме оснований:

$m = \frac{a + b}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции. Пусть высота исходной трапеции равна $h$. Тогда высота каждой из двух меньших трапеций будет равна $\frac{h}{2}$.

Основаниями одной из этих трапеций являются $b$ и $m$, а другой — $m$ и $a$. Пусть $a > b$. Тогда площадь первой трапеции (верхней) $S_1$, а второй (нижней) $S_2$.

$S_1 = \frac{b + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$

$S_2 = \frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}$

По условию, отношение площадей этих частей равно $5:11$. Так как $a > b$, то $S_2 > S_1$, следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{11}$.

$\frac{\frac{b + m}{2} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{a + m}{2} \cdot \frac{h}{2}} = \frac{b + m}{a + m} = \frac{5}{11}$

Подставим значение средней линии $m=4$:

$\frac{b + 4}{a + 4} = \frac{5}{11}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a + b = 8 \\ \frac{b + 4}{a + 4} = \frac{5}{11} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$:

$b = 8 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{(8 - a) + 4}{a + 4} = \frac{5}{11}$

$\frac{12 - a}{a + 4} = \frac{5}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$11(12 - a) = 5(a + 4)$

$132 - 11a = 5a + 20$

$132 - 20 = 5a + 11a$

$112 = 16a$

$a = \frac{112}{16} = 7$ см.

Теперь найдем второе основание $b$:

$b = 8 - a = 8 - 7 = 1$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 1 см и 7 см.

Ответ: 1 см и 7 см.