Номер 4.43, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.43. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $M$ — точка пересечения медиан треугольника $BC_1D$ — принадлежит диагонали $A_1C$ параллелепипеда. Найдите отношение $A_1M : MC_1$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем начало координат в точке A и определим три некомпланарных вектора, соответствующих ребрам параллелепипеда, выходящим из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим радиус-векторы интересующих нас точек относительно начала координат A:

Радиус-вектор точки B: $\vec{AB} = \vec{a}$.

Радиус-вектор точки D: $\vec{AD} = \vec{b}$.

Радиус-вектор точки $C_1$: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Точка M является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $BC_1D$. Ее радиус-вектор $\vec{AM}$ равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

$\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC_1} + \vec{AD}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{b}) = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c})$.

Чтобы доказать, что точка M лежит на диагонали $A_1C$, необходимо показать, что векторы $\vec{A_1M}$ и $\vec{A_1C}$ коллинеарны. Для этого найдем их выражения через базисные векторы.

Радиус-векторы концов диагонали $A_1C$:

$\vec{AA_1} = \vec{c}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Тогда вектор диагонали $\vec{A_1C}$ равен:

$\vec{A_1C} = \vec{AC} - \vec{AA_1} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Вектор $\vec{A_1M}$ равен:

$\vec{A_1M} = \vec{AM} - \vec{AA_1} = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}) - \vec{c} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$.

Сравнивая выражения для векторов, получаем: $\vec{A_1M} = \frac{2}{3}\vec{A_1C}$.

Поскольку вектор $\vec{A_1M}$ является произведением вектора $\vec{A_1C}$ на скаляр $k = \frac{2}{3}$, эти векторы коллинеарны. Это означает, что точки $A_1$, M и C лежат на одной прямой. Так как коэффициент $0 < \frac{2}{3} < 1$, точка M лежит между точками $A_1$ и C, то есть принадлежит диагонали (отрезку) $A_1C$.

Ответ: Утверждение доказано.

Примечание: В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Как было доказано, точка M лежит на диагонали $A_1C$. Поэтому естественно искать отношение, в котором эта точка делит диагональ, то есть $A_1M : MC$. Отношение $A_1M : MC_1$ не будет постоянной величиной для произвольного параллелепипеда. Ниже приведено решение для отношения $A_1M : MC$.

Из соотношения $\vec{A_1M} = \frac{2}{3}\vec{A_1C}$, полученного в ходе доказательства, следует, что длина отрезка $A_1M$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины всего отрезка $A_1C$:

$|A_1M| = \frac{2}{3}|A_1C|$.

Следовательно, длина оставшейся части отрезка, MC, составляет:

$|MC| = |A_1C| - |A_1M| = |A_1C| - \frac{2}{3}|A_1C| = \frac{1}{3}|A_1C|$.

Тогда искомое отношение равно:

$\frac{|A_1M|}{|MC|} = \frac{\frac{2}{3}|A_1C|}{\frac{1}{3}|A_1C|} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, $A_1M : MC = 2:1$.

Ответ: $2:1$.