Номер 4.36, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.36. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На отрезках $B_1C$ и $BD$ взяли соответственно точки $M$ и $K$ так, что $B_1M : MC = 2 : 1, BK : KD = 1 : 2$. Докажите, что прямые $MK$ и $AC_1$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых MK и AC₁ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось Ox вдоль AB, ось Oy вдоль AD, ось Oz вдоль AA₁. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $B_1(a, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$, который является направляющим вектором для прямой AC₁. Вектор, соединяющий две точки, имеет координаты, равные разности соответствующих координат конца и начала вектора.$\vec{AC_1} = (a - 0; a - 0; a - 0) = (a, a, a)$.

Теперь найдем координаты точек M и K. Точка M лежит на отрезке B₁C и делит его в отношении $B_1M : MC = 2 : 1$. Координаты точки M можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:$x_M = \frac{1 \cdot x_{B_1} + 2 \cdot x_C}{1 + 2} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot a}{3} = \frac{3a}{3} = a$$y_M = \frac{1 \cdot y_{B_1} + 2 \cdot y_C}{1 + 2} = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{3} = \frac{2a}{3}$$z_M = \frac{1 \cdot z_{B_1} + 2 \cdot z_C}{1 + 2} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{3} = \frac{a}{3}$Таким образом, точка M имеет координаты $M(a, \frac{2a}{3}, \frac{a}{3})$.

Точка K лежит на отрезке BD и делит его в отношении $BK : KD = 1 : 2$. Координаты точки K находятся аналогично:$x_K = \frac{2 \cdot x_B + 1 \cdot x_D}{2 + 1} = \frac{2 \cdot a + 1 \cdot 0}{3} = \frac{2a}{3}$$y_K = \frac{2 \cdot y_B + 1 \cdot y_D}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot a}{3} = \frac{a}{3}$$z_K = \frac{2 \cdot z_B + 1 \cdot z_D}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{3} = 0$Таким образом, точка K имеет координаты $K(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, 0)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{MK}$, который является направляющим вектором для прямой MK:$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M) = (\frac{2a}{3} - a; \frac{a}{3} - \frac{2a}{3}; 0 - \frac{a}{3}) = (-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$.

Для того чтобы прямые MK и AC₁ были параллельны, их направляющие векторы $\vec{MK}$ и $\vec{AC_1}$ должны быть коллинеарны. Два вектора коллинеарны, если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{MK} = k \cdot \vec{AC_1}$. Сравним координаты векторов:$\vec{AC_1} = (a, a, a)$$\vec{MK} = (-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$

Заметим, что $\vec{MK} = -\frac{1}{3} \cdot (a, a, a) = -\frac{1}{3} \vec{AC_1}$.

Поскольку вектор $\vec{MK}$ является произведением вектора $\vec{AC_1}$ на число $k = -\frac{1}{3}$, эти векторы коллинеарны. Также необходимо убедиться, что прямые не совпадают. Точка A(0,0,0) лежит на прямой AC₁. Проверим, лежит ли она на прямой MK. Если бы точка A лежала на прямой MK, то вектор $\vec{AK}$ был бы коллинеарен вектору $\vec{MK}$. $\vec{AK} = (\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}, 0)$. Этот вектор не коллинеарен вектору $\vec{MK} = (-\frac{a}{3}, -\frac{a}{3}, -\frac{a}{3})$, так как их соответствующие координаты не пропорциональны. Следовательно, прямые MK и AC₁ параллельны и не совпадают.

Ответ: Прямые MK и AC₁ параллельны, что и требовалось доказать.