Номер 4.40, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.40. Точки N и M — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите равенство $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})$.

Доказательство

Для доказательства равенства воспользуемся методом координат (или, что эквивалентно, методом радиус-векторов). Выберем произвольную точку O в пространстве в качестве начала отсчета. Тогда положение любой точки X можно задать ее радиус-вектором $\overrightarrow{OX}$.

По условию, точка N является серединой отрезка AB. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, для радиус-вектора точки N ($\overrightarrow{ON}$) справедливо:

$\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$

Аналогично, точка M является серединой отрезка CD, поэтому для ее радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$ имеем:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$

Вектор $\overrightarrow{MN}$ можно выразить как разность радиус-векторов его конца (точки N) и начала (точки M):

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\overrightarrow{ON}$ и $\overrightarrow{OM}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD})$

Перегруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы получить векторы, указанные в доказываемом равенстве ($\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{CB}$):

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}))$

По определению разности векторов, $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB}$.

Заменив разности векторов в скобках, мы приходим к искомому равенству:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB})$ доказано.