Номер 4.44, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4.44, страница 40.

Условие.

4.44. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD.

На рёбрах SB, SC и SD отметили соответственно точки M, N и K так, что $SM : MB = 3 : 2$, $SN : NC = 1 : 2$ и $SK : KD = 1 : 3$. В каком отношении, считая от вершины S, плоскость MNK делит ребро SA?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом. Пусть вершина пирамиды S является началом координат. Обозначим векторы, идущие от вершины S к вершинам основания: $\vec{SA} = \vec{a}$, $\vec{SB} = \vec{b}$, $\vec{SC} = \vec{c}$ и $\vec{SD} = \vec{d}$.

Так как основание $ABCD$ является параллелограммом, то сумма векторов, проведенных к противоположным вершинам, равна. Для векторов, отложенных от вершины S, это означает: $\vec{SA} + \vec{SC} = \vec{SB} + \vec{SD}$, или в наших обозначениях:

$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

Это ключевое соотношение, которое мы будем использовать.

Теперь определим радиус-векторы точек M, N и K, используя данные в условии отношения:

Точка M лежит на ребре SB, и $SM:MB = 3:2$. Следовательно, $\vec{SM} = \frac{3}{3+2}\vec{SB} = \frac{3}{5}\vec{b}$.
Точка N лежит на ребре SC, и $SN:NC = 1:2$. Следовательно, $\vec{SN} = \frac{1}{1+2}\vec{SC} = \frac{1}{3}\vec{c}$.
Точка K лежит на ребре SD, и $SK:KD = 1:3$. Следовательно, $\vec{SK} = \frac{1}{1+3}\vec{SD} = \frac{1}{4}\vec{d}$.

Пусть плоскость $MNK$ пересекает ребро $SA$ в точке $P$. Поскольку точка $P$ лежит на ребре $SA$, ее радиус-вектор можно выразить как $\vec{SP} = k \cdot \vec{SA} = k\vec{a}$ для некоторого коэффициента $k$. Наша задача — найти этот коэффициент $k$, который и определит искомое отношение.

Так как точка $P$ лежит в одной плоскости с точками $M, N, K$, векторы $\vec{MP}$, $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$ компланарны. Это значит, что вектор $\vec{MP}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$:

$\vec{MP} = x \cdot \vec{MN} + y \cdot \vec{MK}$

Выразим это равенство через радиус-векторы:

$\vec{SP} - \vec{SM} = x(\vec{SN} - \vec{SM}) + y(\vec{SK} - \vec{SM})$

Перегруппируем и подставим известные выражения для векторов:

$k\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b} = x(\frac{1}{3}\vec{c} - \frac{3}{5}\vec{b}) + y(\frac{1}{4}\vec{d} - \frac{3}{5}\vec{b})$

$k\vec{a} = (1 - x - y)\frac{3}{5}\vec{b} + x\frac{1}{3}\vec{c} + y\frac{1}{4}\vec{d}$

Теперь воспользуемся свойством параллелограмма, выразив $\vec{a}$ через остальные базисные векторы: $\vec{a} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{c}$.

$k(\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}) = (1 - x - y)\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{x}{3}\vec{c} + \frac{y}{4}\vec{d}$

Поскольку векторы $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ не компланарны (являются ребрами трехгранного угла пирамиды), то равенство возможно только при равенстве коэффициентов при этих векторах в левой и правой частях. Это дает нам систему из трех уравнений с тремя неизвестными $k, x, y$:

1) при $\vec{b}$: $k = \frac{3}{5}(1-x-y)$
2) при $\vec{c}$: $-k = \frac{x}{3}$
3) при $\vec{d}$: $k = \frac{y}{4}$

Из второго и третьего уравнений выразим $x$ и $y$ через $k$:

$x = -3k$

$y = 4k$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$k = \frac{3}{5}(1 - (-3k) - 4k)$

$k = \frac{3}{5}(1 - k)$

$5k = 3(1-k)$

$5k = 3 - 3k$

$8k = 3$

$k = \frac{3}{8}$

Мы получили, что $\vec{SP} = \frac{3}{8}\vec{SA}$, то есть точка P делит ребро SA в отношении $SP:SA = 3:8$.

Искомое отношение $SP:PA$ будет:

$\frac{SP}{PA} = \frac{\frac{3}{8}SA}{SA - \frac{3}{8}SA} = \frac{\frac{3}{8}SA}{\frac{5}{8}SA} = \frac{3}{5}$

Следовательно, искомое отношение равно $3:5$.

Ответ: 3:5.