Номер 4.48, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. На отрезках $AB_1$ и $BC_1$ соответственно отметили точки $P$ и $K$ так, что прямые $PK$ и $A_1 C$ параллельны. Найдите отношение $\frac{PK}{A_1 C}$.

Для решения этой задачи наиболее удобен векторный метод. Введем базисные векторы, отложенные от одной вершины параллелепипеда, например, от вершины $A$:

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{a}$.

Эти три вектора некомпланарны.

Теперь выразим радиус-векторы интересующих нас точек относительно начала в точке $A$:

• $\vec{A_1} = \vec{a}$
• $\vec{B} = \vec{b}$
• $\vec{C} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$
• $\vec{B_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{a}$
• $\vec{C_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1} = (\vec{b} + \vec{d}) + \vec{a}$

Точка $P$ лежит на отрезке $AB_1$. Это означает, что вектор $\vec{AP}$ коллинеарен вектору $\vec{AB_1}$, то есть существует такое число $t \in [0, 1]$, что:

$\vec{AP} = t \cdot \vec{AB_1} = t(\vec{a} + \vec{b})$.

Точка $K$ лежит на отрезке $BC_1$. Это означает, что вектор $\vec{BK}$ коллинеарен вектору $\vec{BC_1}$, то есть существует такое число $s \in [0, 1]$, что $\vec{BK} = s \cdot \vec{BC_1}$. Выразим радиус-вектор точки $K$:

$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{b} + s \cdot \vec{BC_1}$

Найдем вектор $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{d}$.

Тогда радиус-вектор точки $K$ равен:

$\vec{AK} = \vec{b} + s(\vec{a} + \vec{d})$.

Теперь составим выражения для векторов $\vec{PK}$ и $\vec{A_1C}$:

$\vec{PK} = \vec{AK} - \vec{AP} = (\vec{b} + s(\vec{a} + \vec{d})) - t(\vec{a} + \vec{b}) = s\vec{a} + \vec{b} + s\vec{d} - t\vec{a} - t\vec{b} = (s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d}$.

$\vec{A_1C} = \vec{AC} - \vec{AA_1} = (\vec{b} + \vec{d}) - \vec{a} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}$.

По условию задачи прямые $PK$ и $A_1C$ параллельны. Следовательно, их направляющие векторы $\vec{PK}$ и $\vec{A_1C}$ коллинеарны. Это значит, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{PK} = \lambda \cdot \vec{A_1C}$:

$(s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d} = \lambda(-\vec{a} + \vec{b} + \vec{d})$

$(s-t)\vec{a} + (1-t)\vec{b} + s\vec{d} = -\lambda\vec{a} + \lambda\vec{b} + \lambda\vec{d}$

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ образуют базис, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} s-t = -\lambda \\ 1-t = \lambda \\ s = \lambda \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Из третьего уравнения имеем $s = \lambda$. Подставим это во второе уравнение, предварительно выразив из него $t$:

$t = 1 - \lambda$.

Теперь подставим выражения для $s$ и $t$ в первое уравнение:

$\lambda - (1 - \lambda) = -\lambda$

$\lambda - 1 + \lambda = -\lambda$

$2\lambda - 1 = -\lambda$

$3\lambda = 1$

$\lambda = \frac{1}{3}$

Отношение длин параллельных отрезков $\frac{PK}{A_1C}$ равно модулю коэффициента $\lambda$.

$\frac{PK}{A_1C} = |\lambda| = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$