Номер 5.1, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.9), точка $O$ — центр грани $ABCD$.

Чему равен угол между векторами:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$;

2) $\vec{AC}$ и $\vec{BO}$;

3) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BO}$;

4) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$;

5) $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$;

6) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$?

Рис. 5.9

1) $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ совместим их начала. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$, так как в квадрате $ABCD$ стороны $CD$ и $BA$ параллельны, равны по длине и сонаправлены (если обходить контур в одном направлении). Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$, рассмотрим их выходящими из одной точки $A$. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ равен $\angle CAB$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($ \angle B = 90^\circ $) с равными катетами $AB$ и $BC$, угол $\angle CAB$ равен $45^\circ$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$. Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ является смежным с углом между $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$. Таким образом, искомый угол равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

2) $\vec{AC}$ и $\vec{BO}$

Точка $O$ — центр грани $ABCD$, то есть точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BO}$ лежит на прямой $BD$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$. Следовательно, угол между лежащими на них векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BO}$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BO}$

Вектор $\vec{AA_1}$ соответствует боковому ребру куба, которое перпендикулярно основанию $ABCD$. Вектор $\vec{BO}$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен вектору $\vec{BO}$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

4) $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{CC_1}$ соответствуют параллельным ребрам куба $AA_1$ и $CC_1$. Они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Такие векторы называются равными, $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$. Угол между двумя равными (сонаправленными) ненулевыми векторами равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

5) $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны, так как они соответствуют параллельным ребрам и сонаправлены. Вектор $\vec{B_1B}$ противоположен вектору $\vec{BB_1}$, то есть $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1}$. Следовательно, $\vec{B_1B} = -\vec{AA_1}$. Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{B_1B}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Угол между такими векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

6) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$

Заменим вектор $\vec{CD}$ равным ему вектором $\vec{BA}$. Тогда искомый угол — это угол между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$. Оба эти вектора выходят из точки $B$. Угол между ними — это угол $\angle OBA$.

В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Поскольку $\angle ABC = 90^\circ$, то $\angle ABD = 45^\circ$. Точка $O$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $\angle OBA = \angle DBA = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.