gdz.top
Номер 5.7, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-10036-2
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава 1. Координаты и векторы в пространстве. Параграф 5. Скалярное произведение векторов - номер 5.7, страница 48.
№5.6
№5.7 (с. 48)
Условие. №5.7 (с. 48)
5.7. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Вычислите скалярное произведение $(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b})$.
Решение 1. №5.7 (с. 48)
Решение 2. №5.7 (с. 48)
Решение 3. №5.7 (с. 48)
Для вычисления скалярного произведения $(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b})$ необходимо раскрыть скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность).
$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = \vec{a} \cdot (4\vec{a}) - \vec{a} \cdot (7\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (4\vec{a}) - (3\vec{b}) \cdot (7\vec{b})$
$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 21(\vec{b} \cdot \vec{b})$
Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), упростим выражение:
$4|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2$
Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.
По условию, $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$ и $\alpha = 120^\circ$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -0.5$
Подставим все известные значения в упрощенное выражение:
$4|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2 = 4 \cdot 1^2 + 5 \cdot (-0.5) - 21 \cdot 1^2$
$= 4 \cdot 1 - 2.5 - 21 \cdot 1 = 4 - 2.5 - 21 = 1.5 - 21 = -19.5$
Ответ: -19.5
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 5.7 расположенного на странице 48 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №5.7 (с. 48), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.