Номер 5.8, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.8. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Вычислите скалярное произведение $(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})$.

Для вычисления скалярного произведения $(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b})$ необходимо раскрыть скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (аналогично умножению многочленов).

$(5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 5\vec{b}) = 5\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot 5\vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot 5\vec{b}$

Теперь упростим полученное выражение, используя свойства скалярного произведения:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$.
• Скалярное произведение коммутативно: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$.
• $(k\vec{x}) \cdot (l\vec{y}) = kl(\vec{x} \cdot \vec{y})$.

Применяя эти свойства, получаем:

$5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 25(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{a}) - 5(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 5|\vec{a}|^2 - 25(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5|\vec{a}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя его определение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$ и $\alpha = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим все известные значения в упрощенное выражение:

$5|\vec{a}|^2 - 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 5 \cdot (1)^2 - 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - 5 \cdot (1)^2$

$= 5 \cdot 1 - 12 - 5 \cdot 1 = 5 - 12 - 5 = -12$

Ответ: $-12$.