Номер 5.6, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.6. Угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равен $150^{\circ}$, $|\vec{m}|=2$, $|\vec{n}|=\sqrt{3}$. Найдите:

1) $(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m}$;

2) $(\vec{m} + \vec{n})^2$.

По условию задачи дан угол между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, который равен $150^\circ$, а также их длины: $|\vec{m}| = 2$ и $|\vec{n}| = \sqrt{3}$.

Для решения нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Вычислим его по формуле скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(150^\circ)$

Найдем значение косинуса угла: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3$.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

1) $(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m}$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, раскроем скобки:

$(3\vec{m} - 4\vec{n}) \cdot \vec{m} = (3\vec{m}) \cdot \vec{m} - (4\vec{n}) \cdot \vec{m}$

Вынесем скалярные множители:

$3(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 4(\vec{n} \cdot \vec{m})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), поэтому:

$3|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n})$

Подставим числовые значения, которые нам известны из условия и которые мы вычислили ранее:

$3 \cdot (2)^2 - 4 \cdot (-3) = 3 \cdot 4 + 12 = 12 + 12 = 24$.

Ответ: 24

2) $(\vec{m} + \vec{n})^2$

Квадрат вектора (или суммы векторов) есть скалярное произведение этого вектора на самого себя:

$(\vec{m} + \vec{n})^2 = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n})$

Раскроем скобки по аналогии с формулой квадрата суммы для чисел:

$(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})$

Заменим скалярные квадраты на квадраты модулей векторов:

$|\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

Подставим известные значения:

$(2)^2 + 2 \cdot (-3) + (\sqrt{3})^2 = 4 - 6 + 3 = 1$.

Ответ: 1