Номер 5.2, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.2. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 40°. Чему равен угол между векторами:

1) $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$;

2) $-7\vec{a}$ и $10\vec{b}$?

Пусть угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\alpha$. По условию задачи, $\alpha = 40^\circ$.

При умножении вектора на скаляр (число) его направление либо сохраняется, либо меняется на противоположное:

• Если скаляр $k > 0$, то вектор $k\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$.
• Если скаляр $k < 0$, то вектор $k\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Угол между векторами $k\vec{a}$ и $m\vec{b}$ зависит от знаков скаляров $k$ и $m$.

1. Если $k$ и $m$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то векторы $k\vec{a}$ и $m\vec{b}$ отклоняются от исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ таким образом, что угол между ними сохраняется. То есть, угол равен $\alpha$.
2. Если $k$ и $m$ имеют разные знаки (один положительный, а другой отрицательный), то один из векторов сохраняет направление, а другой меняет на противоположное. В этом случае новый угол будет смежным с исходным. То есть, угол равен $180^\circ - \alpha$.

1) $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$

Здесь мы рассматриваем векторы, умноженные на скаляры $k = -3$ и $m = -5$.

Так как оба скаляра отрицательные, они имеют одинаковый знак. Вектор $-3\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$, и вектор $-5\vec{b}$ направлен противоположно вектору $\vec{b}$. Угол между двумя векторами, направления которых одновременно изменились на противоположные, равен исходному углу.

Таким образом, угол между векторами $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$ равен углу между $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Угол = $40^\circ$.

Проверка с помощью скалярного произведения:
Угол $\theta$ между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$ определяется формулой $\cos\theta = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}||\vec{y}|}$.
Из условия: $\cos(40^\circ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
Найдем косинус угла $\theta_1$ между $-3\vec{a}$ и $-5\vec{b}$:
$\cos\theta_1 = \frac{(-3\vec{a}) \cdot (-5\vec{b})}{|-3\vec{a}| \cdot |-5\vec{b}|} = \frac{15(\vec{a} \cdot \vec{b})}{(3|\vec{a}|) \cdot (5|\vec{b}|)} = \frac{15(\vec{a} \cdot \vec{b})}{15|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \cos(40^\circ)$.
Следовательно, $\theta_1 = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

2) $-7\vec{a}$ и $10\vec{b}$

Здесь скаляры равны $k = -7$ и $m = 10$.

Скаляры имеют разные знаки ($k<0$, $m>0$). Вектор $-7\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$, а вектор $10\vec{b}$ сонаправлен вектору $\vec{b}$. Так как направление только одного из векторов изменилось на противоположное, новый угол будет смежным с исходным.

Угол = $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Проверка с помощью скалярного произведения:
Найдем косинус угла $\theta_2$ между $-7\vec{a}$ и $10\vec{b}$:
$\cos\theta_2 = \frac{(-7\vec{a}) \cdot (10\vec{b})}{|-7\vec{a}| \cdot |10\vec{b}|} = \frac{-70(\vec{a} \cdot \vec{b})}{(7|\vec{a}|) \cdot (10|\vec{b}|)} = \frac{-70(\vec{a} \cdot \vec{b})}{70|\vec{a}||\vec{b}|} = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = -\cos(40^\circ)$.
Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем $\cos\theta_2 = \cos(180^\circ - 40^\circ) = \cos(140^\circ)$.
Следовательно, $\theta_2 = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.