Номер 4.46, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.46. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Известно, что $AD = 2BC$. Точки $M, N$ и $K$ – середины рёбер $BC, SD$ и $DC$ соответственно. Точка $F$ принадлежит ребру $SA$, причём $SF : FA = 1 : 13$. Докажите, что плоскость $MNF$ параллельна прямой $SK$.

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в точке $D$ и выберем в качестве базисных векторов $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{c}$ и $\vec{DS} = \vec{s}$. Эти векторы некомпланарны.

Выразим векторы, определяющие положения ключевых точек пирамиды, через базисные векторы.

Точка $K$ — середина ребра $DC$, следовательно:

$\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

Точка $N$ — середина ребра $SD$, следовательно:

$\vec{DN} = \frac{1}{2}\vec{DS} = \frac{1}{2}\vec{s}$

Основанием пирамиды является трапеция $ABCD$, в которой $BC \parallel AD$ и $AD = 2BC$. В векторной форме это означает, что $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. Так как $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$, получаем $\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a}$.

Точка $M$ — середина ребра $BC$. Найдем ее радиус-вектор $\vec{DM}$:

$\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM} = \vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \vec{DC} - \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{c} - \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\vec{a}) = \vec{c} + \frac{1}{4}\vec{a}$

Точка $F$ принадлежит ребру $SA$, причем $SF : FA = 1 : 13$. Это означает, что $\vec{SF} = \frac{1}{14}\vec{SA}$. Найдем радиус-вектор $\vec{DF}$:

$\vec{SA} = \vec{DA} - \vec{DS} = \vec{a} - \vec{s}$

$\vec{DF} = \vec{DS} + \vec{SF} = \vec{s} + \frac{1}{14}\vec{SA} = \vec{s} + \frac{1}{14}(\vec{a} - \vec{s}) = \frac{14\vec{s} + \vec{a} - \vec{s}}{14} = \frac{1}{14}\vec{a} + \frac{13}{14}\vec{s}$

Теперь найдем вектор $\vec{SK}$, параллельность которому мы доказываем:

$\vec{SK} = \vec{DK} - \vec{DS} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{s}$

Для доказательства параллельности прямой $SK$ и плоскости $MNF$ достаточно показать, что в плоскости $MNF$ существует вектор, коллинеарный вектору $\vec{SK}$.

Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости $MNF$, например $\vec{MN}$ и $\vec{NF}$:

$\vec{MN} = \vec{DN} - \vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{s} - (\vec{c} + \frac{1}{4}\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{s}$

$\vec{NF} = \vec{DF} - \vec{DN} = (\frac{1}{14}\vec{a} + \frac{13}{14}\vec{s}) - \frac{1}{2}\vec{s} = \frac{1}{14}\vec{a} + (\frac{13}{14} - \frac{7}{14})\vec{s} = \frac{1}{14}\vec{a} + \frac{6}{14}\vec{s} = \frac{1}{14}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{s}$

Любой вектор $\vec{p}$, лежащий в плоскости $MNF$, можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NF}$: $\vec{p} = \alpha\vec{MN} + \beta\vec{NF}$.

Подставим векторные выражения:

$\vec{p} = \alpha(-\frac{1}{4}\vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{s}) + \beta(\frac{1}{14}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{s}) = (-\frac{\alpha}{4} + \frac{\beta}{14})\vec{a} - \alpha\vec{c} + (\frac{\alpha}{2} + \frac{3\beta}{7})\vec{s}$

Вектор $\vec{p}$ будет коллинеарен вектору $\vec{SK} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{s}$, если в его разложении по базису $\vec{a}, \vec{c}, \vec{s}$ коэффициент при векторе $\vec{a}$ равен нулю, а коэффициенты при $\vec{c}$ и $\vec{s}$ пропорциональны соответствующим коэффициентам вектора $\vec{SK}$.

Приравняем коэффициент при $\vec{a}$ к нулю:

$-\frac{\alpha}{4} + \frac{\beta}{14} = 0 \implies \frac{\alpha}{4} = \frac{\beta}{14} \implies 14\alpha = 4\beta \implies 7\alpha = 2\beta$

Выберем простейшие ненулевые целые значения, удовлетворяющие этому равенству: $\alpha = 2$ и $\beta = 7$.

Подставим эти значения в выражение для вектора $\vec{p}$:

$\vec{p} = -2\vec{c} + (\frac{2}{2} + \frac{3 \cdot 7}{7})\vec{s} = -2\vec{c} + (1+3)\vec{s} = -2\vec{c} + 4\vec{s}$

Сравним полученный вектор $\vec{p}$ с вектором $\vec{SK}$:

$\vec{p} = -2\vec{c} + 4\vec{s} = -4(\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{s}) = -4\vec{SK}$

Таким образом, мы нашли вектор $\vec{p} = 2\vec{MN} + 7\vec{NF}$, который является линейной комбинацией векторов, лежащих в плоскости $MNF$, и, следовательно, параллелен этой плоскости. При этом вектор $\vec{p}$ коллинеарен вектору $\vec{SK}$. Это означает, что в плоскости $MNF$ существует прямая, параллельная прямой $SK$.

Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость $MNF$ параллельна прямой $SK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.