Номер 4.39, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.39. Точка $M$ для каждого из треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения медиан. Докажите, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ параллельны некоторой плоскости.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную точку $O$ — начало координат. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ и $\vec{a_1} = \vec{OA_1}$, $\vec{b_1} = \vec{OB_1}$, $\vec{c_1} = \vec{OC_1}$. Радиус-вектор точки $M$ обозначим как $\vec{m} = \vec{OM}$.

Точка $M$ является точкой пересечения медиан (центроидом) для треугольника $ABC$. Радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети от суммы радиус-векторов его вершин. Следовательно, для треугольника $ABC$ имеем:

$\vec{m} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Аналогично, точка $M$ является центроидом и для треугольника $A_1B_1C_1$. Поэтому для него справедливо:

$\vec{m} = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Так как речь идет об одной и той же точке $M$, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:

$\frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Умножив обе части на 3, получим:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}$

Теперь рассмотрим прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Направляющими векторами для этих прямых являются векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ соответственно. Выразим эти векторы через радиус-векторы вершин:

$\vec{AA_1} = \vec{OA_1} - \vec{OA} = \vec{a_1} - \vec{a}$

$\vec{BB_1} = \vec{OB_1} - \vec{OB} = \vec{b_1} - \vec{b}$

$\vec{CC_1} = \vec{OC_1} - \vec{OC} = \vec{c_1} - \vec{c}$

Чтобы доказать, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны некоторой плоскости, достаточно доказать, что их направляющие векторы компланарны (то есть лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях).

Три вектора компланарны, если их линейная комбинация равна нулевому вектору (при ненулевых коэффициентах), или, как частный случай, если их сумма равна нулевому вектору. Найдем сумму векторов $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{a_1} - \vec{a}) + (\vec{b_1} - \vec{b}) + (\vec{c_1} - \vec{c})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Из ранее полученного равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}$ следует, что разность $(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1}) - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ равна нулевому вектору:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$

Так как сумма трех векторов равна нулевому вектору, эти векторы компланарны. Например, вектор $\vec{CC_1}$ можно выразить через два других: $\vec{CC_1} = -(\vec{AA_1} + \vec{BB_1})$. Это означает, что все три вектора лежат в одной плоскости (или в параллельных плоскостях, если их отложить от одной точки). Следовательно, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, направляющими векторами которых являются эти векторы, параллельны этой плоскости.

Ответ: Что и требовалось доказать.