Номер 4.32, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.32. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точ-ку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так,что $C_1K : KD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, исходящие из вершины A параллелепипеда:

$\vec{a} = \vec{AB}$

$\vec{b} = \vec{AD}$

$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Искомый вектор $\vec{MK}$ можно представить в виде разности векторов, отложенных от вершины A (начала координат):

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM}$

Найдем векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ по отдельности.

1. Нахождение вектора $\vec{AM}$

Точка M лежит на ребре AD и делит его в отношении $AM : MD = 1 : 3$. Это значит, что вектор $\vec{AM}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$ и его длина составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ длины ребра AD. Таким образом:

$\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$

2. Нахождение вектора $\vec{AK}$

Точка K лежит на отрезке $C_1D$ и делит его в отношении $C_1K : KD = 3 : 2$. Для нахождения радиус-вектора $\vec{AK}$ воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении:

$\vec{AK} = \frac{2 \cdot \vec{AC_1} + 3 \cdot \vec{AD}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{AC_1} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

Теперь выразим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$ через базисные:

$\vec{AD} = \vec{b}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда. По правилу сложения векторов (правилу параллелепипеда):

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Подставим полученные выражения в формулу для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{2}{5}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} + \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5})\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

3. Вычисление вектора $\vec{MK}$

Теперь, имея выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$, найдем их разность:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = (\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) - (\frac{1}{4}\vec{b})$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{a} + (1 - \frac{1}{4})\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

Заменим базисные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ на их исходные обозначения $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}$:

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AA_1}$