Номер 4.31, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.31. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагонали грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его грань $CC_1D_1D$ является параллелограммом. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $CD_1$ (а также диагонали $C_1D$).

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AM}$, можно воспользоваться правилом нахождения вектора, соединяющего точку с серединой отрезка. Вектор, проведенный из точки $A$ к середине отрезка $CD_1$, равен полусумме векторов, проведенных из точки $A$ к концам этого отрезка:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD_1})$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю боковой грани $AA_1D_1D$. По правилу параллелограмма для сложения векторов:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ в исходную формулу для вектора $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1}))$

Упростим выражение, сгруппировав подобные векторные слагаемые:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + 2\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид разложения вектора:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$