Номер 4.37, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.37. Точка M — центроид тетраэдра DABC. Докажите, что для любой точки X пространства $ \vec{XM} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD}) $.

По определению, центроид $M$ тетраэдра $DABC$ — это точка, радиус-вектор которой относительно произвольного начала координат $O$ равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Это можно записать в виде формулы:
$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$

Для доказательства утверждения, данного в задаче, выберем в качестве начала координат произвольную точку $X$ пространства. Тогда радиус-вектор любой точки $P$ будет равен вектору $\overrightarrow{XP}$.

Применяя определение центроида для начала координат в точке $X$, мы можем записать радиус-вектор точки $M$ как среднее арифметическое радиус-векторов вершин $A, B, C, D$:
$\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD})$

Это в точности то равенство, которое требовалось доказать.

Альтернативное, более подробное доказательство:

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства:
$\frac{1}{4}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD})$

Выразим каждый вектор в скобках через произвольную точку $O$ (начало координат), используя правило разности векторов $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$:
$\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{XC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{XD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OX}$

Подставим эти выражения в правую часть:
$\frac{1}{4}((\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OX}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OX}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OX}) + (\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OX}))$

Сгруппируем слагаемые:
$\frac{1}{4}((\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) - 4\overrightarrow{OX})$

Раскроем скобки:
$\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) - \frac{4\overrightarrow{OX}}{4} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) - \overrightarrow{OX}$

Из определения центроида мы знаем, что $\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) = \overrightarrow{OM}$. Заменим эту часть выражения:
$\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OX}$

По правилу разности векторов, $\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{XM}$.

Таким образом, мы преобразовали правую часть исходного равенства и получили его левую часть, что доказывает справедливость утверждения для любой точки $X$.

Ответ: Утверждение доказано.