Номер 4.41, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.41. Точки $P$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что $AC + BD > 2PK$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом дополнительного построения и неравенством треугольника.

1. Введём в рассмотрение точку $M$ — середину ребра $AB$ тетраэдра $DABC$.

2. Рассмотрим грань (треугольник) $ABD$. В этом треугольнике отрезок $PM$ соединяет середины сторон $AD$ (точка $P$ по условию) и $AB$ (точка $M$ по построению). Следовательно, $PM$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине:

$PM \parallel BD$ и $PM = \frac{1}{2} BD$

3. Теперь рассмотрим грань (треугольник) $ABC$. В этом треугольнике отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AB$ (точка $M$ по построению) и $BC$ (точка $K$ по условию). Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии:

$MK \parallel AC$ и $MK = \frac{1}{2} AC$

4. Точки $P$, $M$ и $K$ в общем случае образуют треугольник $PMK$. Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику $PMK$:

$PM + MK > PK$

Равенство $PM + MK = PK$ достигается только в том случае, если точки $P$, $M$, $K$ лежат на одной прямой. Это, в свою очередь, возможно, только если отрезки $PM$ и $MK$ коллинеарны. Так как $PM \parallel BD$ и $MK \parallel AC$, это бы означало, что рёбра $BD$ и $AC$ также параллельны. Однако в (невырожденном) тетраэдре рёбра $AC$ и $BD$ являются скрещивающимися, то есть не лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно, точки $P$, $M$, $K$ не лежат на одной прямой, и неравенство является строгим.

5. Подставим в неравенство треугольника выражения для $PM$ и $MK$, полученные в шагах 2 и 3:

$\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC > PK$

6. Умножим обе части неравенства на 2:

$BD + AC > 2PK$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AC + BD > 2PK$ доказано с помощью введения дополнительной точки (середины ребра $AB$), использования свойства средней линии в треугольниках $ABD$ и $ABC$, и применения неравенства треугольника к полученному треугольнику $PMK$.