Номер 4.45, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.45. Точки $M$, $N$ и $K$ — соответственно середины рёбер $AB$, $BC$ и $DD_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В каком отношении, считая от точки $D$, плоскость $MNK$ делит диагональ $DB_1$ параллелепипеда?

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базис, связав его с ребрами параллелепипеда, выходящими из вершины $D$. Пусть $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{c}$ и $\vec{DD_1} = \vec{d}$.

В этом базисе выразим радиус-векторы точек $M, N, K$ и вершин диагонали $D$ и $B_1$.

• Точка $D$ является началом координат, поэтому ее радиус-вектор $\vec{r}_D = \vec{0}$.
• Радиус-вектор точки $B_1$ равен сумме векторов, составляющих ломаную линию из ребер, соединяющую $D$ и $B_1$: $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{c}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1} = \vec{d}$, то $\vec{r}_{B_1} = \vec{DB_1} = \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}$.
• $M$ — середина ребра $AB$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_B)$. Так как $\vec{r}_A = \vec{a}$ и $\vec{r}_B = \vec{DA} + \vec{DC} = \vec{a} + \vec{c}$, то $\vec{r}_M = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{a} + \vec{c})) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $N$ — середина ребра $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_N = \frac{1}{2}(\vec{r}_B + \vec{r}_C)$. Так как $\vec{r}_B = \vec{a} + \vec{c}$ и $\vec{r}_C = \vec{c}$, то $\vec{r}_N = \frac{1}{2}((\vec{a} + \vec{c}) + \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{c}$.
• $K$ — середина ребра $DD_1$. Ее радиус-вектор $\vec{r}_K = \frac{1}{2}(\vec{r}_D + \vec{r}_{D_1})$. Так как $\vec{r}_D = \vec{0}$ и $\vec{r}_{D_1} = \vec{d}$, то $\vec{r}_K = \frac{1}{2}\vec{d}$.

Пусть $P$ — точка пересечения плоскости $(MNK)$ и диагонали $DB_1$. Поскольку точка $P$ лежит на диагонали $DB_1$, ее радиус-вектор $\vec{r}_P$ можно выразить как $\vec{r}_P = \lambda \cdot \vec{DB_1}$ для некоторого скаляра $\lambda$.$\vec{r}_P = \lambda(\vec{a} + \vec{c} + \vec{d})$. Это означает, что точка $P$ делит отрезок $DB_1$ в отношении $DP:PB_1 = \lambda : (1-\lambda)$. Нам нужно найти значение $\lambda$.

Поскольку точка $P$ также лежит в плоскости $(MNK)$, векторы $\vec{KP}$, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ компланарны (лежат в одной плоскости). Найдем координаты этих векторов в базисе $\{\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}\}$:

$\vec{KP} = \vec{r}_P - \vec{r}_K = \lambda(\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}) - \frac{1}{2}\vec{d} = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{c} + \left(\lambda - \frac{1}{2}\right)\vec{d}$.
$\vec{KM} = \vec{r}_M - \vec{r}_K = \left(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}\right) - \frac{1}{2}\vec{d} = 1 \cdot \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d}$.
$\vec{KN} = \vec{r}_N - \vec{r}_K = \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{c}\right) - \frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + 1 \cdot \vec{c} - \frac{1}{2}\vec{d}$.

Условие компланарности трех векторов эквивалентно равенству нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение можно вычислить как определитель матрицы, составленной из координат векторов:$ \begin{vmatrix} \lambda & \lambda & \lambda - \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:$ \lambda \left(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) - \lambda \left(1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \left(\lambda - \frac{1}{2}\right) \left(1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) = 0 $$ \lambda \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) - \lambda \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \left(\lambda - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 0 $$ \lambda \left(\frac{1}{4}\right) - \lambda \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\lambda - \frac{1}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) = 0 $$ \frac{1}{4}\lambda + \frac{1}{4}\lambda + \frac{3}{4}\lambda - \frac{3}{8} = 0 $$ \frac{5}{4}\lambda = \frac{3}{8} $$ \lambda = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} $

Таким образом, $\vec{DP} = \frac{3}{10}\vec{DB_1}$. Это означает, что длина отрезка $DP$ составляет $\frac{3}{10}$ от длины всей диагонали $DB_1$. Длина оставшейся части $PB_1$ составляет $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ от длины $DB_1$. Следовательно, отношение, в котором плоскость $(MNK)$ делит диагональ $DB_1$, считая от точки $D$, равно:$ DP : PB_1 = \frac{3}{10} : \frac{7}{10} = 3:7 $

Ответ: $3:7$.