Номер 4.38, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.38. Дан тетраэдр $DABC$. Докажите, что равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$ выполняется тогда и только тогда, когда точка $M$ — центроид тетраэдра $DABC$.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда" покажем, что данное равенство эквивалентно тому, что точка $M$ является центроидом тетраэдра. Это докажет утверждение в обе стороны одновременно.

Пусть $O$ — произвольная точка в пространстве (начало координат). Тогда для любой точки $M$ и вершин тетраэдра $A, B, C, D$ мы можем выразить векторы, исходящие из точки $M$, через радиус-векторы, отложенные от точки $O$:

• $\vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM}$
• $\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$
• $\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM}$
• $\vec{MD} = \vec{OD} - \vec{OM}$

Рассмотрим равенство из условия задачи:

$\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$

Подставим в него приведенные выше выражения для векторов:

$(\vec{OA} - \vec{OM}) + (\vec{OB} - \vec{OM}) + (\vec{OC} - \vec{OM}) + (\vec{OD} - \vec{OM}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) - 4\vec{OM} = \vec{0}$

Это равенство можно переписать в следующем виде:

$4\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}$

Или, что эквивалентно:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}}{4}$

Последнее равенство является определением центроида (центра масс) тетраэдра $DABC$. Точка $M$, радиус-вектор которой удовлетворяет этому условию, по определению и есть центроид тетраэдра.

Поскольку все преобразования были равносильными (эквивалентными), мы показали, что исходное векторное равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$ выполняется тогда и только тогда, когда точка $M$ является центроидом тетраэдра $DABC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.