Номер 4.34, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.34. Точки $E$ и $F$ являются соответственно серединами рёбер $BC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. На отрезках $BD$, $EF$ и $AC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $P$ так, что $DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1$. Докажите, что точки $M$, $K$ и $P$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, K и P лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Введем начало координат в вершине D тетраэдра и обозначим радиус-векторы вершин: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$. Поскольку A, B, C, D — вершины тетраэдра, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны (не лежат в одной плоскости) и образуют базис в пространстве.

Теперь выразим радиус-векторы точек E, F, M, K, P через базисные векторы.

Точка E является серединой ребра BC. Ее радиус-вектор $\vec{DE}$ равен полусумме радиус-векторов точек B и C:
$\vec{DE} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

Точка F является серединой ребра AD. Ее радиус-вектор $\vec{DF}$ равен полусумме радиус-векторов точек A и D (радиус-вектор точки D равен нулевому вектору):
$\vec{DF} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{0}) = \frac{1}{2}\vec{a}$

Точка M делит отрезок BD в отношении $DM:MB = 2:1$. Это означает, что $\vec{DM} = \frac{2}{2+1}\vec{DB}$:
$\vec{DM} = \frac{2}{3}\vec{b}$

Точка P делит отрезок AC в отношении $AP:PC = 2:1$. Ее радиус-вектор $\vec{DP}$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:
$\vec{DP} = \frac{1 \cdot \vec{DA} + 2 \cdot \vec{DC}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

Точка K делит отрезок EF в отношении $FK:KE = 2:1$. Ее радиус-вектор $\vec{DK}$ можно найти аналогично:
$\vec{DK} = \frac{1 \cdot \vec{DF} + 2 \cdot \vec{DE}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{DF} + \frac{2}{3}\vec{DE}$
Подставим найденные ранее выражения для $\vec{DF}$ и $\vec{DE}$:
$\vec{DK} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

Чтобы доказать, что точки M, K и P лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой умножением на скаляр (число). Найдем эти векторы:

$\vec{MK} = \vec{DK} - \vec{DM} = \left(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\right)\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MP} = \vec{DP} - \vec{DM} = \left(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}\right) - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

Теперь сравним полученные векторы. Вынесем общий множитель из координат вектора $\vec{MP}$:
$\vec{MP} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = 2 \cdot \left(\frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right)$
Мы видим, что выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{MK}$. Таким образом, мы получили соотношение:
$\vec{MP} = 2 \cdot \vec{MK}$

Поскольку вектор $\vec{MP}$ равен вектору $\vec{MK}$, умноженному на скаляр 2, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MK}$ коллинеарны. Так как они имеют общую начальную точку M, то точки M, K и P лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки M, K и P лежат на одной прямой.