Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.25. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна $48 \text{ см}^2$.

Пусть $S$ - площадь основания исходной пирамиды, а $H$ - её высота. По условию, $S = 48 \text{ см}^2$.

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной.

Обозначим площадь сечения (которое является меньшим основанием усечённой пирамиды) как $S_{сеч}$, а высоту отсеченной пирамиды как $h$.

Поскольку плоскость проходит через середину высоты, высота отсечённой пирамиды равна половине высоты исходной пирамиды:

$h = \frac{1}{2}H$

Коэффициент подобия $k$ этих двух пирамид равен отношению их высот:

$k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, отношение площади сечения к площади основания исходной пирамиды равно $k^2$:

$\frac{S_{сеч}}{S} = k^2$

Подставим известные значения и найдем $S_{сеч}$:

$\frac{S_{сеч}}{48} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$S_{сеч} = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12 \text{ см}^2$

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

4.26. Высота пирамиды равна $25 \, \text{см}$. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $12 \, \text{см}^2$ и $75 \, \text{см}^2$. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь её основания. По условию задачи, $H = 25$ см. Плоскость, проходящая через точку $M$, отсекает усечённую пирамиду с площадями оснований $S_1 = 75$ см² и $S_2 = 12$ см². Это означает, что площадь основания исходной пирамиды $S = S_1 = 75$ см², а площадь сечения, которое является основанием отсечённой (меньшей) пирамиды, равна $s = S_2 = 12$ см².

Отсечённая пирамида подобна исходной. Расстояние от точки $M$ до вершины исходной пирамиды является высотой $h$ отсечённой (меньшей) пирамиды.

Согласно свойству подобных тел, отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, отношение площадей оснований пирамид равно квадрату отношения их высот:

$\frac{s}{S} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\frac{12}{75} = \left(\frac{h}{25}\right)^2$

Сократим дробь в левой части уравнения на 3:

$\frac{4}{25} = \left(\frac{h}{25}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как высота является положительной величиной, рассматриваем только положительный корень:

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{h}{25}$

$\frac{2}{5} = \frac{h}{25}$

Теперь найдём $h$:

$h = \frac{2}{5} \cdot 25 = 2 \cdot 5 = 10$ (см)

Таким образом, расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды составляет 10 см.

Ответ: 10 см.

4.27. Дан тетраэдр DABC. Медианы грани ADB пересекаются в точке E, а медианы грани BDC — в точке F.

1) Докажите, что $\vec{EF} \parallel \vec{AC}$.

2) Выразите вектор $\vec{EF}$ через вектор $\vec{AC}$.

1) Докажите, что $\overrightarrow{EF} \parallel \overrightarrow{AC}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выберем вершину D тетраэдра в качестве начала отсчета. Тогда положение остальных вершин можно задать радиус-векторами $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{DC}$.

Точка E является точкой пересечения медиан (центроидом) грани ADB. По свойству центроида, его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника. Таким образом, радиус-вектор точки E относительно точки D равен:
$\overrightarrow{DE} = \frac{\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DD}}{3} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB})$.

Аналогично, точка F является центроидом грани BDC. Ее радиус-вектор относительно точки D равен:
$\overrightarrow{DF} = \frac{\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD}}{3} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC})$.

Выразим вектор $\overrightarrow{EF}$ через радиус-векторы точек E и F по правилу вычитания векторов:
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{DE}$.
Подставив найденные выражения для $\overrightarrow{DE}$ и $\overrightarrow{DF}$, получим:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA})$.

Вектор $\overrightarrow{AC}$ также можно представить в виде разности векторов, выходящих из точки D:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}$.

Сравнивая полученные выражения для $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{AC}$, видим, что:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Поскольку вектор $\overrightarrow{EF}$ является произведением вектора $\overrightarrow{AC}$ на скаляр $k = \frac{1}{3}$, векторы $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны. Это означает, что прямые, на которых лежат эти векторы, параллельны, то есть $EF \parallel AC$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$.

В ходе решения пункта 1 было получено искомое соотношение. В результате вычислений мы установили, что:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA})$.
Так как по правилу вычитания векторов $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}$, то, подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Ответ: $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

4.28. Медианы грани $ABC$ тетраэдра $DABC$ пересекаются в точке $O$. Выразите вектор $\vec{DC}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DO}$.

По условию, медианы грани ABC тетраэдра DABC пересекаются в точке O. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Таким образом, O — центроид треугольника ABC.

Для любой точки пространства, в том числе и для вершины D, радиус-вектор центроида треугольника равен одной трети суммы радиус-векторов его вершин. Это свойство можно выразить следующей формулой:

$\vec{DO} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC})$

Цель задачи — выразить вектор $\vec{DC}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DO}$. Для этого необходимо преобразовать приведенное выше векторное равенство, чтобы выделить $\vec{DC}$.

Сначала умножим обе части равенства на 3:

$3\vec{DO} = \vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}$

Затем выразим $\vec{DC}$, перенеся остальные векторы в левую часть уравнения:

$\vec{DC} = 3\vec{DO} - \vec{DA} - \vec{DB}$

Это и есть искомое разложение вектора $\vec{DC}$ по заданным векторам.

Ответ: $\vec{DC} = 3\vec{DO} - \vec{DA} - \vec{DB}$

4.29. Точка $M$ — середина ребра $BC$ тетраэдра $DABC$, точка $K$ — середина отрезка $DM$. Выразите вектор $\vec{AK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами векторной алгебры. Выберем точку A в качестве начала системы координат. Тогда векторы, выходящие из этой точки, будут радиус-векторами соответствующих точек.

По условию, точка M является серединой ребра BC. Вектор $\vec{AM}$, проведенный из вершины A в середину отрезка BC, можно выразить как полусумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Далее, точка K является серединой отрезка DM. Аналогично, вектор $\vec{AK}$, проведенный из вершины A в середину отрезка DM, можно выразить как полусумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{AM})$

Теперь подставим полученное ранее выражение для вектора $\vec{AM}$ в это уравнение:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}))$

Раскроем скобки, чтобы выразить $\vec{AK}$ через искомые векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$

Таким образом, мы получили искомое разложение вектора $\vec{AK}$ по векторам $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Ответ: $\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

4.30. Точка $M$ — середина ребра $BC$ тетраэдра $DABC$. Выразите вектор $\vec{DM}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{DM}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Представим искомый вектор в виде суммы векторов, проходящих через точку $A$, так как заданные векторы имеют общее начало в этой точке.

Разложим вектор $\vec{DM}$ по правилу треугольника, используя точку $A$ в качестве промежуточной вершины:$\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM}$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{DA}$ и $\vec{AM}$ через заданные в условии векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

1. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, поэтому мы можем записать:$\vec{DA} = -\vec{AD}$

2. По условию, точка $M$ является серединой ребра $BC$. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ — это медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$. Вектор медианы, проведенной из некоторой вершины треугольника, равен полусумме векторов, проведенных из той же вершины к двум другим вершинам. Таким образом, для вектора $\vec{AM}$ справедливо равенство:$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AM}$ в исходное равенство для $\vec{DM}$:$\vec{DM} = (-\vec{AD}) + \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Упорядочив слагаемые, получим итоговое выражение для вектора $\vec{DM}$:$\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AD}$

Ответ: $\vec{DM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \vec{AD}$

4.31. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Диагонали грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Выразите вектор $\vec{AM}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его грань $CC_1D_1D$ является параллелограммом. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой диагонали $CD_1$ (а также диагонали $C_1D$).

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AM}$, можно воспользоваться правилом нахождения вектора, соединяющего точку с серединой отрезка. Вектор, проведенный из точки $A$ к середине отрезка $CD_1$, равен полусумме векторов, проведенных из точки $A$ к концам этого отрезка:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD_1})$

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

2. Вектор $\vec{AD_1}$ является диагональю боковой грани $AA_1D_1D$. По правилу параллелограмма для сложения векторов:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Подставим полученные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$ в исходную формулу для вектора $\vec{AM}$:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} + \vec{AA_1}))$

Упростим выражение, сгруппировав подобные векторные слагаемые:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + 2\vec{AD} + \vec{AA_1})$

Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид разложения вектора:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

4.32. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точ-ку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так,что $C_1K : KD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, исходящие из вершины A параллелепипеда:

$\vec{a} = \vec{AB}$

$\vec{b} = \vec{AD}$

$\vec{c} = \vec{AA_1}$

Искомый вектор $\vec{MK}$ можно представить в виде разности векторов, отложенных от вершины A (начала координат):

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM}$

Найдем векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ по отдельности.

1. Нахождение вектора $\vec{AM}$

Точка M лежит на ребре AD и делит его в отношении $AM : MD = 1 : 3$. Это значит, что вектор $\vec{AM}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$ и его длина составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ длины ребра AD. Таким образом:

$\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}$

2. Нахождение вектора $\vec{AK}$

Точка K лежит на отрезке $C_1D$ и делит его в отношении $C_1K : KD = 3 : 2$. Для нахождения радиус-вектора $\vec{AK}$ воспользуемся формулой деления отрезка в данном отношении:

$\vec{AK} = \frac{2 \cdot \vec{AC_1} + 3 \cdot \vec{AD}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{AC_1} + \frac{3}{5}\vec{AD}$

Теперь выразим векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$ через базисные:

$\vec{AD} = \vec{b}$

Вектор $\vec{AC_1}$ является диагональю параллелепипеда. По правилу сложения векторов (правилу параллелепипеда):

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Подставим полученные выражения в формулу для $\vec{AK}$:

$\vec{AK} = \frac{2}{5}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} + \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{a} + (\frac{2}{5} + \frac{3}{5})\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

3. Вычисление вектора $\vec{MK}$

Теперь, имея выражения для $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$, найдем их разность:

$\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = (\frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}) - (\frac{1}{4}\vec{b})$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{a} + (1 - \frac{1}{4})\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

Заменим базисные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ на их исходные обозначения $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}$:

$\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{AA_1}$

4.33. Дан тетраэдр $DABC$. Точки $M_1$, $M_2$ и $M_3$ являются соответственно точками пересечения медиан граней $ABD$, $BCD$ и $ADC$. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $ABC$ и $M_1M_2M_3$ и точка $D$ лежат на одной прямой.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве систему координат с началом в произвольной точке O. Обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра $A, B, C, D$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ соответственно.

Точка пересечения медиан (центроид) треугольника с вершинами, заданными радиус-векторами $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}$, имеет радиус-вектор $\vec{p} = \frac{\vec{p_1} + \vec{p_2} + \vec{p_3}}{3}$.

По условию задачи, $M_1$, $M_2$ и $M_3$ — точки пересечения медиан граней $ABD$, $BCD$ и $ADC$ соответственно. Их радиус-векторы:
$\vec{m_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$
$\vec{m_2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$
$\vec{m_3} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

Пусть $G$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор: $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$.

Пусть $G'$ — точка пересечения медиан треугольника $M_1M_2M_3$. Найдем ее радиус-вектор, подставив выражения для $\vec{m_1}, \vec{m_2}, \vec{m_3}$:
$\vec{g'} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2} + \vec{m_3}}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3} + \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} + \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3} \right)$
$\vec{g'} = \frac{1}{9} ( (\vec{a}+\vec{a}) + (\vec{b}+\vec{b}) + (\vec{c}+\vec{c}) + (\vec{d}+\vec{d}+\vec{d}) ) = \frac{1}{9} ( 2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{d} )$

Нам нужно доказать, что точки $D$, $G$ (точка пересечения медиан $\triangle ABC$) и $G'$ (точка пересечения медиан $\triangle M_1M_2M_3$) лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что векторы $\vec{DG}$ и $\vec{DG'}$ коллинеарны.

Найдем векторы $\vec{DG}$ и $\vec{DG'}$, вычитая из радиус-вектора конца радиус-вектор начала:
$\vec{DG} = \vec{g} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}}{3}$
$\vec{DG'} = \vec{g'} - \vec{d} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{d}}{9} - \vec{d} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{d} - 9\vec{d}}{9} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} - 6\vec{d}}{9} = \frac{2}{9}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d})$

Сравним полученные векторы. Мы видим, что $\vec{DG'} = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}) \right)$. Таким образом, мы можем выразить один вектор через другой:
$\vec{DG'} = \frac{2}{3}\vec{DG}$.

Так как вектор $\vec{DG'}$ равен вектору $\vec{DG}$, умноженному на скаляр $k=\frac{2}{3}$, то векторы $\vec{DG}$ и $\vec{DG'}$ коллинеарны. Поскольку они отложены от одной точки $D$, то точки $D$, $G$ и $G'$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $D$, точка пересечения медиан треугольника $ABC$ и точка пересечения медиан треугольника $M_1M_2M_3$ лежат на одной прямой.

4.34. Точки $E$ и $F$ являются соответственно серединами рёбер $BC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. На отрезках $BD$, $EF$ и $AC$ отметили соответственно точки $M$, $K$ и $P$ так, что $DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1$. Докажите, что точки $M$, $K$ и $P$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, K и P лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Введем начало координат в вершине D тетраэдра и обозначим радиус-векторы вершин: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$. Поскольку A, B, C, D — вершины тетраэдра, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны (не лежат в одной плоскости) и образуют базис в пространстве.

Теперь выразим радиус-векторы точек E, F, M, K, P через базисные векторы.

Точка E является серединой ребра BC. Ее радиус-вектор $\vec{DE}$ равен полусумме радиус-векторов точек B и C:
$\vec{DE} = \frac{1}{2}(\vec{DB} + \vec{DC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

Точка F является серединой ребра AD. Ее радиус-вектор $\vec{DF}$ равен полусумме радиус-векторов точек A и D (радиус-вектор точки D равен нулевому вектору):
$\vec{DF} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{0}) = \frac{1}{2}\vec{a}$

Точка M делит отрезок BD в отношении $DM:MB = 2:1$. Это означает, что $\vec{DM} = \frac{2}{2+1}\vec{DB}$:
$\vec{DM} = \frac{2}{3}\vec{b}$

Точка P делит отрезок AC в отношении $AP:PC = 2:1$. Ее радиус-вектор $\vec{DP}$ можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:
$\vec{DP} = \frac{1 \cdot \vec{DA} + 2 \cdot \vec{DC}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

Точка K делит отрезок EF в отношении $FK:KE = 2:1$. Ее радиус-вектор $\vec{DK}$ можно найти аналогично:
$\vec{DK} = \frac{1 \cdot \vec{DF} + 2 \cdot \vec{DE}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{DF} + \frac{2}{3}\vec{DE}$
Подставим найденные ранее выражения для $\vec{DF}$ и $\vec{DE}$:
$\vec{DK} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})\right) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

Чтобы доказать, что точки M, K и P лежат на одной прямой, достаточно показать, что векторы $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой умножением на скаляр (число). Найдем эти векторы:

$\vec{MK} = \vec{DK} - \vec{DM} = \left(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \left(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\right)\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{MP} = \vec{DP} - \vec{DM} = \left(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}\right) - \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$

Теперь сравним полученные векторы. Вынесем общий множитель из координат вектора $\vec{MP}$:
$\vec{MP} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = 2 \cdot \left(\frac{1}{6}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right)$
Мы видим, что выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{MK}$. Таким образом, мы получили соотношение:
$\vec{MP} = 2 \cdot \vec{MK}$

Поскольку вектор $\vec{MP}$ равен вектору $\vec{MK}$, умноженному на скаляр 2, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MK}$ коллинеарны. Так как они имеют общую начальную точку M, то точки M, K и P лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки M, K и P лежат на одной прямой.

4.35. Точки $M, F$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BC, AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. На отрезке $AM$ отметили точку $P$, а на отрезке $CF$ — точку $E$ так, что $AP : PM = 4 : 1$, $CE : EF = 2 : 3$. Докажите, что прямые $PE$ и $BK$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых PE и BK воспользуемся векторным методом. Введем базис, приняв точку A за начало координат. Обозначим векторы: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$.

Выразим положения точек M, F, K через базисные векторы:

• Точка M — середина ребра BC, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• Точка F — середина ребра AD, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AF} = \frac{1}{2}(\vec{AA} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{d}$.
• Точка K — середина ребра CD, следовательно, ее радиус-вектор $\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$.

Теперь найдем радиус-векторы точек P и E, используя данные в условии отношения:

• Точка P делит отрезок AM в отношении $AP : PM = 4 : 1$. Следовательно, $\vec{AP} = \frac{4}{4+1}\vec{AM} = \frac{4}{5}\vec{AM}$. Подставив выражение для $\vec{AM}$, получим: $\vec{AP} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{c})$.
• Точка E делит отрезок CF в отношении $CE : EF = 2 : 3$. По формуле деления отрезка в заданном отношении для векторов, проведенных из точки A: $\vec{AE} = \frac{3\vec{AC} + 2\vec{AF}}{3+2} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + 2\vec{AF})$. Подставив выражение для $\vec{AF}$, получим: $\vec{AE} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + 2 \cdot \frac{1}{2}\vec{d}) = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d})$.

Теперь выразим векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ через базисные векторы:

• $\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP} = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d}) - \frac{2}{5}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{5}(3\vec{c} + \vec{d} - 2\vec{b} - 2\vec{c}) = \frac{1}{5}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.
• $\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) - \vec{b} = \frac{1}{2}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$. Мы видим, что они отличаются только числовым коэффициентом. Выразим один через другой:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$

$\vec{BK} = \frac{1}{2}(-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies (-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = 2\vec{BK}$

Подставим второе выражение в первое:

$\vec{PE} = \frac{1}{5}(2\vec{BK}) = \frac{2}{5}\vec{BK}$

Поскольку вектор $\vec{PE}$ равен вектору $\vec{BK}$, умноженному на скаляр $\frac{2}{5}$, векторы $\vec{PE}$ и $\vec{BK}$ коллинеарны. Так как точки P, E, B, K не лежат на одной прямой (P лежит на AM, E на CF), то прямые PE и BK параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.