Номер 4.26, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.26. Высота пирамиды равна $25 \, \text{см}$. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $12 \, \text{см}^2$ и $75 \, \text{см}^2$. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь её основания. По условию задачи, $H = 25$ см. Плоскость, проходящая через точку $M$, отсекает усечённую пирамиду с площадями оснований $S_1 = 75$ см² и $S_2 = 12$ см². Это означает, что площадь основания исходной пирамиды $S = S_1 = 75$ см², а площадь сечения, которое является основанием отсечённой (меньшей) пирамиды, равна $s = S_2 = 12$ см².

Отсечённая пирамида подобна исходной. Расстояние от точки $M$ до вершины исходной пирамиды является высотой $h$ отсечённой (меньшей) пирамиды.

Согласно свойству подобных тел, отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, отношение площадей оснований пирамид равно квадрату отношения их высот:

$\frac{s}{S} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\frac{12}{75} = \left(\frac{h}{25}\right)^2$

Сократим дробь в левой части уравнения на 3:

$\frac{4}{25} = \left(\frac{h}{25}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как высота является положительной величиной, рассматриваем только положительный корень:

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{h}{25}$

$\frac{2}{5} = \frac{h}{25}$

Теперь найдём $h$:

$h = \frac{2}{5} \cdot 25 = 2 \cdot 5 = 10$ (см)

Таким образом, расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды составляет 10 см.

Ответ: 10 см.